Практическая стереометрия · 233 задания ФИПИ с ответами
| От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько граней |
|
Задание проверяет умение считать грани многогранника после срезания вершин.
У треугольной призмы 5 граней: 2 треугольных основания и 3 боковые грани.
При срезании вершин, как на рисунке, каждая исходная грань сохраняется, а на месте каждой вершины появляется новая грань.
У призмы 6 вершин, поэтому получаем 5 + 6 = 11 граней.
Ответ: 11.
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды
в баке увеличился в 1,7 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре
1000 кубических сантиметров.
Задание проверяет вычисление объёма погружённой детали по изменению уровня воды. Объём в цилиндре вычисляется по формуле V = S·h, поэтому при постоянной площади основания он увеличивается во столько же раз, сколько высота уровня. После погружения детали объём под уровнем воды составил 10·1,7 = 17 л. Объём детали равен 17 − 10 = 7 л = 7000 см³. Ответ: 7000.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда равен 1080 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте
в миллилитрах.
Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде. Жидкость образует конус, подобный всему сосуду, с высотой в 2 раза меньше. Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров. Поэтому V = 1080 · (1/2)³ = 1080/8 = 135 мл.
Ответ: 135.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху? |
|
Задание проверяет применение подобия при вычислении объёмов конусов. Жидкость образует конус с высотой в 3 раза меньше высоты сосуда, поэтому его радиус также в 3 раза меньше. По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет 1/27 объёма сосуда. Полный объём равен 20·27 = 540 мл, а долить нужно 540 − 20 = 520 мл. Ответ: 520.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 75 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет умение применять отношение объёмов подобных конусов.
На рисунке сосуд расположен вершиной вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду.
Высота жидкости в 2 раза меньше высоты сосуда, поэтому её объём составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.
Следовательно, объём сосуда равен 75 · 8 = 600 мл.
Ответ: 600.
| В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,8 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. |
|
Задание проверяет определение объёма погружённой детали по подъёму уровня воды.
В призматическом баке V = S·h, поэтому при постоянной площади основания объём под уровнем воды увеличивается во столько же раз, сколько высота.
После погружения детали вода и деталь занимают объём 5·1,8 = 9 л.
Объём детали равен разности: 9 − 5 = 4 л.
Переведём в кубические сантиметры: 4·1000 = 4000 см³.
Ответ: 4000.
| От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? |
|
Задание проверяет умение считать грани многогранника после срезания вершин.
У куба 6 граней и 8 вершин.
После отпиливания углов каждая исходная грань сохраняется, а на месте каждой вершины появляется новая треугольная грань.
Всего получается 6 + 8 = 14 граней.
Ответ: 14.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 320 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет применение подобия к вычислению объёмов конусов.
Жидкость образует конус, подобный сосуду, с отношением высот 4/5.
Отношение объёма жидкости к объёму сосуда равно (4/5)³ = 64/125.
Поэтому объём сосуда равен 320 : (64/125) = 320 · 125/64 = 625 мл.
Ответ: 625.
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер
в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание проверяет умение вычислять площадь поверхности составного многогранника.
Деталь представляет собой прямую призму длиной 4 см со ступенчатым основанием.
Площадь основания: S = 4 · 1 + 2 · 1 = 6 см².
Периметр основания равен 12 см: горизонтальные стороны в сумме дают 8 см, вертикальные — 4 см.
Площадь поверхности призмы: S = 2S основания + P основания · h = 2 · 6 + 12 · 4 = 60 см².
Ответ: 60.
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне 20 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза меньше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра V = πr²h.
При переливании объём воды сохраняется, поэтому высота воды обратно пропорциональна квадрату радиуса основания.
Радиус уменьшился в 1,5 раза, значит, высота увеличится в 1,5² = 2,25 раза.
Новый уровень воды: 20 · 2,25 = 45 см.
Ответ: 45.
| От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? |
|
Задание проверяет подсчёт рёбер многогранника после срезания вершин куба. У куба 12 рёбер, и после срезания углов от каждого остаётся одно укороченное ребро. На месте каждой из восьми вершин появляется треугольная грань, дающая три новых ребра. Всего получается 12 + 8·3 = 36 рёбер. Ответ: 36.
| Высота бака цилиндрической формы равна 60 см, а площадь его основания равна 150 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров. |
|
Задание проверяет вычисление объёма цилиндра и перевод единиц объёма. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = S · h. Получаем V = 150 · 60 = 9000 см³. Поскольку 1 л = 1000 см³, объём бака равен 9000/1000 = 9 л. Ответ: 9.
| Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда |
|
Задание проверяет вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда и перевод единиц объёма.
Объём равен произведению трёх измерений: V = abc.
Получаем V = 70 · 20 · 60 = 84000 см³.
Поскольку 1 л = 1000 см³, объём аквариума равен 84000 : 1000 = 84 л.
Ответ: 84.
