Задание 11 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности цилиндра. Площадь наружной поверхности трубы равна произведению внешнего обхвата на длину: S = C · h. Переведём длину в сантиметры: 5 м = 500 см. Получаем S = 23 · 500 = 11500 см².

Ответ: 11500.

Задание проверяет применение подобия конусов для вычисления объёма жидкости. Жидкость образует конус, у которого высота и радиус вдвое меньше, чем у сосуда. По формуле V = πr²h/3 объём этого конуса составляет (1/2)³ = 1/8 вместимости сосуда. Полный объём равен 30 · 8 = 240 мл. Долить нужно 240 − 30 = 210 мл. Ответ: 210.

Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности цилиндра. При развёртывании наружной поверхности трубы получается прямоугольник со сторонами, равными длине трубы и её внешнему обхвату. Переведём длину в сантиметры: 4 м = 400 см. Площадь окраски S = 19 · 400 = 7600 см².

Ответ: 7600.

Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде. Конус жидкости подобен всему сосуду, а его высота составляет 1/2 высоты сосуда. Отношение объёмов равно кубу отношения высот: (1/2)³ = 1/8. Следовательно, V = 1620/8 = 202,5 мл.

Ответ: 202,5.

Задание проверяет умение находить площадь поверхности многогранника. Деталь — призма высотой 1 см: её основание получается из квадрата со стороной 5 см удалением квадрата со стороной 1 см у края. Площадь основания S = 5² − 1² = 24 см², а его периметр P = 4 · 5 + 2 · 1 = 22 см. Площадь всей поверхности равна 2S + P · h = 2 · 24 + 22 · 1 = 70 см². Ответ: 70.

Задание проверяет умение находить объёмы подобных конусов.

Жидкость образует конус, высота которого в 2 раза меньше высоты сосуда.

Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров: Vж/Vс = (1/2)³ = 1/8.

Объём жидкости равен 1040 : 8 = 130 мл.

Ответ: 130.

Задание проверяет подсчёт рёбер составного многогранника.

У шестиугольной призмы 6 рёбер нижнего основания, 6 рёбер верхнего основания и 6 боковых рёбер — всего 18.

После приклеивания пирамиды рёбра общего основания остаются рёбрами поверхности: вдоль них встречаются грани призмы и пирамиды.

Пирамида добавляет 6 боковых рёбер, поэтому всего получается 18 + 6 = 24 ребра.

Ответ: 24.

Задание проверяет вычисление площади поверхности, составленной из прямоугольников.

На рисунке окрашены пять горизонтальных и пять вертикальных прямоугольников.

Площадь одной горизонтальной части равна 30 · 90 = 2700 см², а одной вертикальной — 15 · 90 = 1350 см².

Общая площадь S = 5 · (2700 + 1350) = 20250 см².

Ответ: 20250.

Задание проверяет связь объёма призмы с высотой и определение объёма погружённой детали.

По формуле V = S основания · h при неизменной площади основания объём под уровнем воды увеличивается во столько же раз, что и высота.

После погружения детали этот объём равен 12 · 1,5 = 18 л и включает воду и деталь.

Объём детали равен 18 − 12 = 6 л = 6000 см³.

Ответ: 6000.

Задание проверяет умение вычислять площадь боковой поверхности цилиндра.

Торцы красить не нужно, поэтому площадь равна произведению внешнего обхвата трубы на её длину.

Приведём величины к одинаковым единицам: 2 м = 200 см.

Получаем S = 44 · 200 = 8800 см².

Ответ: 8800.

Задание проверяет вычисление объёма детали разбиением на прямоугольные параллелепипеды. Нижняя часть имеет размеры 4 см, 2 см и 3 см, поэтому её объём равен 4 · 2 · 3 = 24 см³. Верхний выступ имеет высоту 5 − 3 = 2 см и основание 1 см на 2 см, поэтому его объём равен 1 · 2 · 2 = 4 см³. Объём всей детали равен 24 + 4 = 28 см³.

Ответ: 28.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму воды в призматическом баке.

По формуле V = S·h при постоянной площади основания объём под уровнем воды изменяется во столько же раз, что и высота.

После погружения детали этот объём составил 10·1,2 = 12 л.

Объём детали равен 12 − 10 = 2 л = 2000 см³.

Ответ: 2000.

Задание проверяет умение использовать подобие конусов для вычисления объёма.

Конус жидкости и весь сосуд подобны с отношением высот 6/7.

Отношение их объёмов равно кубу отношения высот: Vж/Vс = (6/7)³ = 216/343.

Объём сосуда равен 216 : (216/343) = 343 мл.

Ответ: 343.

Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов. Жидкость образует конус, высота и радиус которого в 2 раза меньше соответствующих размеров сосуда. По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда. Вместимость сосуда равна 20 · 8 = 160 мл, поэтому долить нужно 160 − 20 = 140 мл.

Ответ: 140.

Задание проверяет вычисление объёма детали по изменению уровня воды в призме.

Объём в призме равен V = S · h, поэтому при постоянной площади основания объём под уровнем воды увеличился в 1,6 раза.

Полностью погружённая деталь занимает объём, равный увеличению этого объёма: V = 10 · (1,6 − 1) = 6 л.

Переведём в кубические сантиметры: 6 · 1000 = 6000 см³.

Ответ: 6000.

Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра V = πr²h. При переливании объём воды сохраняется. Увеличение радиуса основания вдвое увеличивает площадь основания в 2² = 4 раза, поэтому высота воды уменьшается вчетверо. Новый уровень воды: 40/4 = 10 см. Ответ: 10.

Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов.

В показанном сосуде с вершиной внизу жидкость образует конус, подобный всему сосуду, с отношением высот 2/7.

Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров: V жидкости / V сосуда = (2/7)³ = 8/343.

Вместимость сосуда равна 40·343 : 8 = 1715 мл.

Нужно долить 1715 − 40 = 1675 мл.

Ответ: 1675.

Задание проверяет умение сравнивать объёмы подобных конусов. Жидкость образует конус, высота которого в 4 раза меньше высоты сосуда, поэтому его объём в 4³ = 64 раза меньше объёма сосуда. Вместимость сосуда равна 100 · 64 = 6400 мл. Долить нужно 6400 − 100 = 6300 мл. Ответ: 6300.

Задание проверяет вычисление объёма воды в призме. Объём равен V = S · h, где S — площадь основания. При увеличении стороны квадратного основания вдвое его площадь увеличивается в 2² = 4 раза. Объём воды сохраняется, поэтому новый уровень равен 120 : 4 = 30 см.

Ответ: 30.

Задание проверяет вычисление объёма шара и сравнение масс тел из одного материала. Объём шара V = πd³/6, поэтому масса однородного шара пропорциональна кубу диаметра. Масса второго шара равна 250 · (7/5)³ = 250 · 343/125 = 686 г.

Ответ: 686.