Практическая стереометрия · 233 задания ФИПИ с ответами
| В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, |
|
Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости. Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, его площадь S = 20² = 400 см². Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh = 400 · 10 = 4000 см³. Ответ: 4000.
| Плоскость, проходящая через точки , и (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника |
|
Задание проверяет распознавание многогранников и подсчёт их рёбер.
На рисунке плоскость отсекает от куба треугольную призму: у неё 6 вершин, а у другой части — 8.
У треугольной призмы два треугольных основания, в каждом по 3 ребра.
Ещё 3 ребра соединяют соответствующие вершины оснований, поэтому всего рёбер 3 + 3 + 3 = 9.
Ответ: 9.
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?
Задание проверяет умение сравнивать объёмы цилиндров.
Объём цилиндра: V = πr²h, где r — радиус основания, h — высота.
Радиус второй кружки втрое больше радиуса первой, поэтому площадь её основания больше в 3² = 9 раз.
Первая кружка выше второй в 1,5 раза, поэтому отношение объёма второй кружки к объёму первой равно 9/1,5 = 6.
Ответ: 6.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. |
|
Задание проверяет умение находить объём составного многогранника. Деталь получается из куба с ребром 3 см удалением прямоугольного параллелепипеда размерами 3 см, 2 см и 1 см. Используем формулу V = a · b · c и вычитаем объём удалённой части: 3³ − 3 · 2 · 1 = 27 − 6 = 21 см³. Ответ: 21.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда равен 250 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте
в миллилитрах.
Задание проверяет применение подобия к вычислению объёмов.
Жидкость образует конус, подобный всему сосуду, с отношением высот 2/5.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: V жидкости / V сосуда = (2/5)³.
Объём жидкости равен 250 · (2/5)³ = 250 · 8/125 = 16 мл.
Ответ: 16.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной
призмы, налито 10 л воды. После полного погружения
в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,3 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Задание проверяет связь объёма и уровня воды в призме. По формуле V = S · h при неизменной площади основания объём под уровнем воды увеличивается во столько же раз, сколько высота. После погружения детали этот объём составляет 10 · 1,3 = 13 л. Объём детали равен приросту: 13 − 10 = 3 л = 3000 см³. Ответ: 3000.
| В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 15 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. |
|
Задание проверяет вычисление объёма детали с помощью вытесненной жидкости.
При полном погружении детали её объём равен объёму вытесненной жидкости.
Для цилиндрического бака V = S · Δh, где S — площадь основания, Δh — подъём уровня жидкости.
Вычисляем V = 80 · 15 = 1200 см³.
Ответ: 1200.
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза ниже второй,
а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?
Задание проверяет умение сравнивать объёмы цилиндров. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h. Радиус первой кружки втрое больше радиуса второй, поэтому площадь её основания больше в 3² = 9 раз. Высота первой кружки составляет 1/4,5 высоты второй, поэтому отношение объёмов равно 9/4,5 = 2. Ответ: 2.
| В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды |
|
Задание проверяет нахождение объёма детали по изменению уровня воды.
В цилиндре V = Sh, где S — площадь основания, h — высота, поэтому при увеличении уровня в 1,2 раза объём под этим уровнем также увеличивается в 1,2 раза.
После погружения детали вода и деталь вместе занимают объём 5 · 1,2 = 6 л.
Объём детали равен разности: 6 − 5 = 1 л = 1000 см³.
Ответ: 1000.
| Плоскость, проходящая через точки и (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней? |
|
Задание проверяет подсчёт вершин многогранника, полученного при сечении призмы.
По рисунку часть с меньшим числом граней имеет 5 граней.
У неё сохраняются 2 вершины исходной призмы, а ещё 4 вершины образуются при пересечении секущей плоскости с рёбрами.
Всего вершин: 2 + 4 = 6.
Ответ: 6.
Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить, если внешний обхват трубы равен 46 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности цилиндра и перевод единиц длины.
Развёртка наружной поверхности трубы — прямоугольник, стороны которого равны длине трубы и её внешнему обхвату.
Переведём длину в сантиметры: 3 м = 300 см.
Площадь покраски равна S = 46 · 300 = 13800 см², поскольку торцы красить не нужно.
Ответ: 13800.
| От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? |
|
Задание проверяет подсчёт вершин многогранника после срезания углов. У пятиугольной призмы 2·5 = 10 вершин, в каждой сходятся три ребра. При срезании каждой вершины возникают три новые вершины на этих рёбрах; на рисунке срезы не сливаются. Поэтому у получившегося многогранника 10·3 = 30 вершин. Ответ: 30.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 8 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная,
что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Задание проверяет нахождение объёма детали по изменению уровня воды. В призме объём до уровня жидкости равен V = Sh, где S — площадь основания, h — высота уровня. При увеличении высоты в 1,5 раза объём под новым уровнем тоже увеличивается в 1,5 раза и составляет 8 · 1,5 = 12 л. Полностью погружённая деталь занимает разность объёмов: 12 − 8 = 4 л. Переводим в кубические сантиметры: 4 · 1000 = 4000 см³. Ответ: 4000.
От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда равен 1680 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте
в миллилитрах.
Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов.
Высота конуса жидкости составляет половину высоты сосуда, поэтому коэффициент подобия равен 1/2.
Объёмы относятся как кубы соответствующих линейных размеров: Vж/Vс = (1/2)³ = 1/8.
Объём жидкости равен 1680 : 8 = 210 мл.
Ответ: 210.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 50 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Задание проверяет вычисление объёма детали по изменению уровня жидкости в призме.
Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому S = 50² = 2500 см².
Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · h = 2500 · 5 = 12500 см³.
Ответ: 12500.
| Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне 20 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше, чем у данного? Ответ дайте |
|
Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра при переливании воды.
Объём воды сохраняется и вычисляется по формуле V = πr²h.
Если радиус основания уменьшить вдвое, площадь основания S = πr² уменьшится в 4 раза.
Для сохранения объёма высота воды увеличится в 4 раза: h = 20 · 4 = 80 см.
Ответ: 80.
| Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа |
|
Задание проверяет умение находить объём детали, составленной из прямоугольных параллелепипедов. Дополним деталь до параллелепипеда с размерами 2 см, 2 см и 3 см: его объём равен 2 · 2 · 3 = 12 см³. Объём вырезанной части равен 1 · 1 · 3 = 3 см³, поэтому объём детали составляет 12 − 3 = 9 см³. Ответ: 9.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости. При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму. Основание бака — квадрат, поэтому его площадь S = 20² = 400 см². Объём детали V = S · h = 400 · 5 = 2000 см³.
Ответ: 2000.
Прямолинейный участок трубы длиной 6 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить, если внешний обхват трубы равен 14 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности цилиндра.
Площадь окрашиваемой поверхности равна произведению внешнего обхвата трубы на её длину: S = C · l.
Переведём длину в сантиметры: 6 м = 600 см, тогда S = 14 · 600 = 8400 см².
Ответ: 8400.
