Задание 11 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет вычисление площади крыши с помощью теоремы Пифагора.

По рисунку конёк направлен вдоль стены длиной 7 м, а ширина дома поперёк конька равна 8 м.

Скаты равны, поэтому горизонтальная проекция ширины одного ската равна 8 : 2 = 4 м.

По теореме Пифагора ширина ската равна √(3² + 4²) = 5 м.

Площадь двух прямоугольных скатов: S = 2 · 7 · 5 = 70 м².

Ответ: 70.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому S = 20² = 400 см².

Объём детали равен S · Δh = 400 · 15 = 6000 см³.

Ответ: 6000.

Задание проверяет связь объёмов подобных конусов с их высотами.

Жидкость образует конус с высотой и радиусом основания в 2 раза меньше, чем у всего сосуда.

По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.

Поэтому объём сосуда равен 50 · 8 = 400 мл.

Ответ: 400.

Задание проверяет умение находить площадь поверхности куба без одной грани.

Покрасить снаружи нужно 5 квадратных граней ящика.

Площадь одной грани равна 30² = 900 см².

Общая площадь окрашиваемой поверхности равна 5 · 900 = 4500 см².

Ответ: 4500.

Задание проверяет умение находить объёмы подобных конусов.

На рисунке жидкость образует конус с вершиной в нижней точке сосуда.

Его высота составляет 1/3 высоты сосуда, поэтому объём составляет (1/3)³ = 1/27 полного объёма.

Объём жидкости равен 810 · 1/27 = 30 мл.

Ответ: 30.

Задание проверяет умение использовать масштаб точной копии пространственной фигуры.

Переведём размеры пирамиды в сантиметры: 210 м = 21000 см, 136 м = 13600 см.

Коэффициент уменьшения: k = 105/21000 = 1/200.

Высота уменьшается во столько же раз: h = 13600/200 = 68 см.

Ответ: 68.

Задание проверяет умение считать рёбра составного многогранника.

У куба 12 рёбер, и после приклеивания пирамиды все они остаются рёбрами поверхности.

Четыре ребра основания пирамиды совпадают с рёбрами куба, поэтому повторно их не считаем.

Добавляются 4 боковых ребра пирамиды: 12 + 4 = 16.

Ответ: 16.

Задание проверяет сравнение объёмов цилиндров по формуле V = πr²h. Радиус второй кружки в 4 раза больше радиуса первой, поэтому площадь её основания больше в 4² = 16 раз. Высота второй кружки вдвое меньше, следовательно, V₂/V₁ = 16/2 = 8.

Ответ: 8.

Задание проверяет вычисление объёма детали как разности объёмов прямоугольных параллелепипедов. Объём целого параллелепипеда: V = abc = 3 · 5 · 2 = 30 см³. Объём выреза: 1 · 2 · 2 = 4 см³, поэтому объём детали равен 30 − 4 = 26 см³. Ответ: 26.

Задание проверяет подсчёт рёбер многогранника после срезания вершин.

У треугольной призмы 9 рёбер и 6 вершин.

После срезания вершин от каждого исходного ребра остаётся один отрезок: всего 9 рёбер.

В каждой вершине сходились три ребра, поэтому каждый срез создаёт треугольную грань с тремя новыми рёбрами.

Всего получается 9 + 6 · 3 = 27 рёбер.

Ответ: 27.

Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности цилиндра. Развёртка наружной поверхности трубы — прямоугольник со сторонами, равными длине трубы и её внешнему обхвату. Переведём длину в сантиметры: 5 м = 500 см. Площадь окрашиваемой поверхности S = 21 · 500 = 10500 см².

Ответ: 10500.

Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов и объёма доливаемой жидкости.

Конус жидкости и весь сосуд подобны с отношением высот 2/7, поэтому отношение их объёмов равно (2/7)³ = 8/343.

Полный объём сосуда равен 80 · 343 / 8 = 3430 мл.

Чтобы наполнить сосуд, нужно долить 3430 − 80 = 3350 мл.

Ответ: 3350.

Задание проверяет умение считать грани составного многогранника.

После склеивания одна грань куба и основание пирамиды оказываются внутри фигуры и не входят в её поверхность.

От куба остаются 5 квадратных граней, а от пирамиды — 4 треугольные боковые грани.

Всего граней: 5 + 4 = 9.

Ответ: 9.

Задание проверяет вычисление объёма конуса и использование подобия.

Жидкость образует конус, высота которого в 2 раза меньше высоты сосуда.

Радиус тоже уменьшается в 2 раза, поэтому по формуле V = πr²h/3 объём уменьшается в 2³ = 8 раз.

Объём жидкости: 1600 : 8 = 200 мл.

Ответ: 200.

Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде. Жидкость образует конус, подобный всему сосуду, с отношением высот 6/7. Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров: Vж = Vс · (6/7)³. Получаем Vж = 1715 · 216/343 = 1080 мл.

Ответ: 1080.

Задание проверяет применение подобия при вычислении размеров пространственных фигур.

У точной копии все линейные размеры изменяются в одинаковое число раз, поэтому отношение высоты к стороне основания сохраняется.

Высота копии: h = 27,5 · 104 / 220 = 13 см.

Ответ: 13.

Задание проверяет связь объёмов подобных конусов.

Высота конуса жидкости составляет 1/5 высоты сосуда, поэтому его радиус также составляет 1/5 радиуса сосуда.

Объём жидкости составляет (1/5)³ = 1/125 объёма сосуда.

Следовательно, объём сосуда равен 8 · 125 = 1000 мл.

Ответ: 1000.

Задание проверяет соотношение объёмов подобных конусов. На рисунке вершина сосуда направлена вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Отношение высот равно 4/7, а отношение объёмов равно (4/7)³ = 64/343. Вместимость сосуда составляет 80 · 343/64 = 428,75 мл. Нужно долить 428,75 − 80 = 348,75 мл. Ответ: 348,75.

Задание проверяет вычисление объёма конуса и применение подобия. Жидкость образует конус, подобный всему сосуду, с отношением высот 3/7. Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров: 270/V = (3/7)³ = 27/343. Поэтому вместимость сосуда V = 270 · 343/27 = 3430 мл. Долить нужно 3430 − 270 = 3160 мл. Ответ: 3160.

Задание проверяет умение находить объёмы подобных конусов.

Сосуд направлен вершиной вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду, с высотой в 3 раза меньше.

Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров: V жидкости / V сосуда = (1/3)³ = 1/27.

Объём сосуда: 10 · 27 = 270 мл.

Нужно долить: 270 − 10 = 260 мл.

Ответ: 260.