Задание 11 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет определение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому S = 40² = 1600 см².

Объём детали равен 1600 · 5 = 8000 см³.

Ответ: 8000.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

Полностью погружённая деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму.

В цилиндрическом баке этот объём вычисляется по формуле V = S · Δh, где Δh — подъём уровня жидкости.

Получаем V = 60 · 10 = 600 см³.

Ответ: 600.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

Полностью погружённая деталь вытесняет жидкость, объём которой равен объёму детали.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому его площадь S = 80² = 6400 см².

Объём детали равен S · Δh = 6400 · 6 = 38400 см³.

Ответ: 38400.

Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов. Высота и радиус конуса жидкости в 3 раза меньше соответствующих размеров сосуда. По формуле V = πr²h/3 его объём меньше объёма сосуда в 3³ = 27 раз. Следовательно, объём сосуда равен 20 · 27 = 540 мл.

Ответ: 540.

Здесь проверяется связь между изменением уровня воды и объёмом погружённой детали. В призматическом баке площадь горизонтального сечения постоянна, поэтому удвоение уровня означает, что объём воды вместе с вытесненным объёмом стал вдвое больше исходного объёма воды.

Изначально было 5 × 1000 = 5000 см³ воды. Значит, деталь вытеснила 5000 см³.

Ответ: 5000.

Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов. Высота и радиус конуса жидкости составляют 2/3 соответствующих размеров сосуда. Поэтому отношение объёмов равно (2/3)³ = 8/27. Объём всего сосуда равен 160 · 27/8 = 540 мл. Долить нужно 540 − 160 = 380 мл.

Ответ: 380.

Задание проверяет применение подобия к вычислению объёма конуса.

Жидкость образует конус, высота которого в 2 раза меньше высоты сосуда.

По подобию радиус поверхности жидкости также в 2 раза меньше радиуса основания сосуда.

По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет (1/2)² · (1/2) = 1/8 объёма сосуда.

Значит, объём сосуда равен 25 · 8 = 200 мл.

Ответ: 200.

Задание проверяет нахождение объёма погружённой детали.

Объём призмы V = Sh, поэтому при постоянной площади основания объём пропорционален высоте.

После повышения уровня втрое вода и деталь вместе занимают 7 · 3 = 21 л.

Объём детали равен 21 − 7 = 14 л = 14000 см³.

Ответ: 14000.

Задание проверяет подсчёт граней многогранника после срезания вершин.

У пятиугольной призмы 2 основания и 5 боковых граней, всего 7 граней.

У неё 10 вершин, и при срезании каждой появляется одна новая грань; исходные грани сохраняются.

Всего получается 7 + 10 = 17 граней.

Ответ: 17.

Задание проверяет сравнение объёмов цилиндров.

Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h.

Высота второй кружки в 1,5 раза больше высоты первой, а радиус — в 2 раза больше, поскольку диаметр увеличен вдвое.

Поэтому отношение объёмов равно 2² · 1,5 = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет вычисление объёма цилиндра и перевод единиц объёма.

Объём равен произведению площади основания на высоту: V = S · h.

Получаем V = 140 · 50 = 7000 см³.

Поскольку 1 л = 1000 см³, объём бака равен 7000 : 1000 = 7 л.

Ответ: 7.

Задание проверяет связь высоты жидкости с площадью основания цилиндра. Объём воды сохраняется и вычисляется по формуле V = πr²h. При уменьшении радиуса втрое площадь основания уменьшается в 3² = 9 раз. Поэтому уровень воды станет в девять раз выше: 10 · 9 = 90 см.

Ответ: 90.

Задание проверяет вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда и перевод единиц.

Объём равен произведению трёх измерений: V = a · b · c = 50 · 40 · 40 = 80 000 см³.

Поскольку 1 л = 1000 см³, объём аквариума составляет 80 000/1000 = 80 л.

Ответ: 80.

Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов.

Жидкость образует конус, высота которого в 2 раза меньше высоты сосуда; его радиус также в 2 раза меньше.

По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.

Объём сосуда равен 55 · 8 = 440 мл.

Ответ: 440.

Задание проверяет умение находить объём детали по изменению уровня воды в цилиндре.

Объём цилиндра вычисляется по формуле V = S · h, где S — площадь основания, h — высота.

Площадь основания постоянна, поэтому при увеличении высоты в 1,6 раза объём под новым уровнем тоже увеличивается в 1,6 раза: 10 · 1,6 = 16 л.

Полностью погружённая деталь занимает добавившийся объём: 16 − 10 = 6 л.

Переведём в кубические сантиметры: 6 · 1000 = 6000 см³.

Ответ: 6000.

Задание проверяет нахождение объёма погружённой детали по изменению уровня воды.

У цилиндра постоянная площадь горизонтального сечения, поэтому объём под уровнем воды пропорционален высоте этого уровня: V = S · h.

После погружения детали объём под новым уровнем составляет 5 · 1,4 = 7 л.

Объём детали равен увеличению этого объёма: 7 − 5 = 2 л = 2000 см³.

Ответ: 2000.

Задание проверяет вычисление объёма цилиндра и перевод единиц. Объём равен произведению площади основания на высоту: V = S · h = 160 · 50 = 8000 см³. Поскольку 1 л = 1000 см³, получаем 8000 : 1000 = 8 л. Ответ: 8.

Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра V = πr²h. При увеличении радиуса втрое площадь основания увеличивается в 3² = 9 раз. Объём воды сохраняется, поэтому её уровень уменьшается в 9 раз: 90 : 9 = 10 см. Ответ: 10.

Задание проверяет нахождение объёма детали по объёму вытесненной воды.

Для цилиндра V = S основания · h, поэтому при постоянной площади основания объём под уровнем воды увеличивается во столько же раз, что и высота.

После погружения детали объём под новым уровнем равен 5 · 1,2 = 6 л.

Объём детали равен разности: 6 − 5 = 1 л = 1000 см³.

Ответ: 1000.

Задание проверяет связь массы однородного тела с его объёмом.

У шаров из одного материала массы пропорциональны объёмам, а объёмы шаров пропорциональны кубам диаметров.

Отношение диаметров равно 2/5, поэтому масса меньшего шара равна 875 · (2/5)³ = 875 · 8/125 = 56 г.

Ответ: 56.