Задание 11 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет вычисление объёма детали по изменению уровня воды в цилиндре.

Объём цилиндра V = Sh, где S — площадь основания, h — высота, поэтому при увеличении уровня в 1,6 раза занятый объём также увеличивается в 1,6 раза.

Объём полностью погружённой детали равен приросту занятого объёма: V = 5 · (1,6 − 1) = 3 л.

Переводим в кубические сантиметры: 3 · 1000 = 3000 см³.

Ответ: 3000.

Задание проверяет подсчёт рёбер составного многогранника.

У треугольной призмы 9 рёбер, у треугольной пирамиды — 6.

При склеивании 3 ребра основания пирамиды совпадают с 3 рёбрами основания призмы, поэтому каждое из них учитываем один раз.

Всего получаем 9 + 6 − 3 = 12 рёбер.

Ответ: 12.

Задание проверяет подсчёт вершин и рёбер многогранника после сечения. На рисунке плоскость пересекает три ребра, выходящие из одной вершины тетраэдра, и отсекает маленький тетраэдр. У оставшейся части 6 вершин, поэтому именно у неё вершин больше. Её рёбра — это 3 ребра противоположной грани, 3 оставшиеся части пересечённых рёбер и 3 стороны сечения. Всего получается 3 + 3 + 3 = 9 рёбер. Ответ: 9.

Задание проверяет вычисление объёма детали по изменению уровня воды в цилиндре.

Объём до уровня воды вычисляется по формуле V = S · h, где S — площадь основания, h — высота уровня воды.

Площадь основания постоянна, поэтому при увеличении уровня в 1,4 раза объём под этим уровнем также увеличился в 1,4 раза: 5 · 1,4 = 7 л.

Объём полностью погружённой детали равен разности: 7 − 5 = 2 л = 2000 см³.

Ответ: 2000.

Задание проверяет вычисление объёма детали по подъёму уровня жидкости в призме. Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому S = 80² = 6400 см². Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh = 6400 · 5 = 32000 см³. Ответ: 32000.

Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности цилиндра.

Эта площадь равна произведению длины окружности основания на длину трубы: S = Cl.

Переведём длину трубы в сантиметры: 4 м = 400 см.

Тогда S = 17 · 400 = 6800 см²; торцы учитывать не нужно.

Ответ: 6800.

Задание проверяет умение находить площадь поверхности детали.

У куба без одной грани остаётся 5 квадратных граней, которые нужно покрасить снаружи.

Площадь одной грани: 40² = 1600 см².

Общая площадь: S = 5 · 1600 = 8000 см².

Ответ: 8000.

Задание проверяет нахождение объёма детали по изменению уровня жидкости в призме.

Полностью погружённая деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму детали.

Основание бака — квадрат, поэтому его площадь S = 90² = 8100 см².

Умножаем площадь основания на подъём уровня: V = S · Δh = 8100 · 10 = 81000 см³.

Ответ: 81000.

Задание проверяет вычисление объёма жидкости с помощью подобия конусов.

Конус жидкости и весь сосуд подобны, а отношение их высот равно 1/2.

Отношение объёмов равно кубу отношения высот: V жидкости = 120 · (1/2)³ = 120/8 = 15 мл.

Ответ: 15.

Задание проверяет умение находить площадь боковой поверхности цилиндра.

Развёртка наружной поверхности трубы — прямоугольник, стороны которого равны длине трубы и её внешнему обхвату.

Переведём длину в сантиметры: 3 м = 300 см.

Площадь покраски: S = 32 · 300 = 9600 см².

Ответ: 9600.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, его площадь S = 20² = 400 см².

Объём детали равен V = S · Δh = 400 · 20 = 8000 см³.

Ответ: 8000.

Задание проверяет нахождение объёма детали по изменению уровня воды.

Объём в цилиндре вычисляется по формуле V = S · h, где S — площадь основания, h — высота.

При увеличении высоты в 1,5 раза объём под уровнем воды также увеличился в 1,5 раза и составил 4 · 1,5 = 6 л.

Полностью погружённая деталь занимает объём 6 − 4 = 2 л = 2000 см³.

Ответ: 2000.

Задание проверяет применение подобия при вычислении объёма конуса.

На рисунке сосуд расположен вершиной вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду.

Отношение высот равно 2/3, значит, отношение объёмов равно (2/3)³ = 8/27.

Полный объём сосуда: 60 · 27/8 = 202,5 мл.

Нужно долить 202,5 − 60 = 142,5 мл.

Ответ: 142,5.

Задание проверяет связь объёма погружённой детали с повышением уровня воды.

В цилиндре V = S основания · h, поэтому при увеличении высоты в 1,2 раза объём под новым уровнем также увеличивается в 1,2 раза.

Полностью погружённая деталь вытесняет объём воды, равный своему объёму.

Объём детали: V = 15 · (1,2 − 1) = 3 л = 3000 см³.

Ответ: 3000.

Задание проверяет вычисление объёма детали по объёму вытесненной жидкости.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому его площадь S = 40² = 1600 см².

Объём полностью погружённой детали равен произведению площади основания бака на величину подъёма уровня жидкости.

Получаем V = 1600 · 10 = 16000 см³.

Ответ: 16000.

Задание проверяет применение подобия при вычислении объёма конуса. Жидкость образует конус, подобный всему сосуду, с отношением высот 2/5. Поэтому отношение объёма жидкости к объёму сосуда равно (2/5)³ = 8/125. Объём сосуда Vс = 80 : (8/125) = 1250 мл.

Ответ: 1250.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму.

Площадь квадратного основания бака равна S = 30² = 900 см².

Объём детали равен S · Δh = 900 · 10 = 9000 см³.

Ответ: 9000.

Задание проверяет изменение высоты жидкости при переливании в сосуд с другой площадью основания. Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому S = a², а объём жидкости V = S·h.

При уменьшении стороны основания вдвое его площадь уменьшается в четыре раза. Объём воды сохраняется, поэтому её уровень увеличивается в четыре раза: 20·4 = 80 см.

Ответ: 80.

Задание проверяет вычисление объёма детали из прямоугольных параллелепипедов.

Разделим деталь горизонтально на нижний слой и верхнюю ступень.

Нижний слой имеет высоту 2 − 1 = 1 см, поэтому его объём равен 3 · 3 · 1 = 9 см³.

Глубина верхней ступени равна 3 − 1 = 2 см, а её объём составляет 3 · 2 · 1 = 6 см³.

Объём детали равен 9 + 6 = 15 см³.

Ответ: 15.