Задание 10 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет применение подобия треугольников к нахождению расстояния.

Треугольники, образованные фонарём и человеком с их тенями, подобны по двум углам: прямому и общему углу при конце тени.

Пусть x м — расстояние от фонаря до человека; тогда расстояние от фонаря до конца тени равно (x + 9) м.

Из пропорции (x + 9)/9 = 5/1,8 получаем x + 9 = 25, значит, x = 16 м.

Ответ: 16.

Задание проверяет применение свойств трапеции к практической задаче.

Крайние вертикальные стойки параллельны, а средний столб соединяет середины наклонного поручня и горизонтального основания.

По свойству средней линии трапеции его высота равна полусумме высот крайних стоек: l = (h₁ + h₂)/2.

Получаем l = (1,1 + 2,1)/2 = 1,6 м.

Ответ: 1,6.

Задание проверяет применение свойства средней линии треугольника.

Вертикальный столб проходит через середину наклонной стороны и параллелен стороне, задающей высоту горки.

Поэтому столб является средней линией треугольника, а его высота равна половине высоты горки: l = h/2 = 3,8/2 = 1,9 м.

Ответ: 1,9.

Задание проверяет применение подобия треугольников к вычислению высоты.

Фонарь и человек образуют с землёй прямоугольные треугольники, у которых общий угол при конце тени, поэтому треугольники подобны.

Расстояние от основания фонаря до конца тени равно 3,5 + 1 = 4,5 м.

Отношение высот равно отношению оснований: H/2 = 4,5/1, откуда H = 9 м.

Ответ: 9.

Задание проверяет применение подобия прямоугольных треугольников.

Столб и человек образуют с землёй прямые углы, а луч от фонаря проходит через голову человека к концу тени, поэтому соответствующие треугольники подобны.

Расстояние от основания столба до конца тени равно 4 + 1 = 5 м.

По подобию H/1,8 = 5/1, откуда высота столба H = 1,8 · 5 = 9 м.

Ответ: 9.

Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции.

Крайние вертикальные опоры параллельны, а столб посередине перил образует среднюю линию трапеции.

Её длина равна полусумме длин оснований: l = (1,7 + 2,7)/2 = 2,2 м.

Ответ: 2,2.

Задание проверяет нахождение площади оставшейся части участка вычитанием площадей.

Площадь прямоугольного участка: S = ab = 25 · 30 = 750 м².

Площадь квадратного вольера: S = a² = 15² = 225 м².

Площадь оставшейся части: 750 − 225 = 525 м².

Ответ: 525.

Задание проверяет умение находить периметр прямоугольного участка с учётом проезда. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле P = 2 · (a + b). Получаем P = 2 · (35 + 70) = 210 м. Проезд шириной 4 м оставляют без забора, поэтому потребуется 210 − 4 = 206 м забора. Ответ: 206.

Задание проверяет применение свойств трапеции к практической задаче.

Крайние вертикальные стойки параллельны и образуют основания трапеции, а столб посередине — её среднюю линию.

Длина средней линии равна полусумме оснований: l = (h₁ + h₂)/2 = (0,7 + 1,5)/2 = 1,1 м.

Ответ: 1,1.

Задание проверяет вычисление периметра и общей длины изгороди.

Периметр прямоугольного участка: P = 2 · (25 + 30) = 110 м.

На рисунке две стороны квадрата уже входят во внешнюю изгородь, поэтому добавить нужно только две другие стороны: 2 · 15 = 30 м.

Суммарная длина изгороди: 110 + 30 = 140 м.

Ответ: 140.

Задание проверяет нахождение высоты с помощью теоремы Пифагора.

Провод является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его катеты — расстояние до дома и разность высот концов провода.

Разность высот равна √(17² − 15²) = √64 = 8 м.

По рисунку столб выше точки крепления провода на доме, поэтому высота столба равна 8 + 4 = 12 м.

Ответ: 12.

Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции.

Вертикальные крайние стойки параллельны и образуют основания трапеции, а средний столб соединяет середины её боковых сторон.

Его высота равна полусумме высот крайних стоек: l = (h₁ + h₂)/2 = (1 + 2)/2 = 1,5 м.

Ответ: 1,5.

Задание проверяет применение свойства средней линии треугольника. Вертикальная опора проходит через середину наклонной стороны горки и параллельна стороне высотой h, поэтому её длина вдвое меньше h. Получаем l = 4,2/2 = 2,1 м. Ответ: 2,1.

Задание проверяет вычисление площади прямоугольника по чертежу квартиры. Общая ширина квартиры равна сумме длины коридора и ширины санузла: 10,5 + 2 = 12,5 м. Ширина второй комнаты равна 12,5 − 3 − 5 = 4,5 м, а её другая сторона равна 4 м. Площадь второй комнаты S = 4,5 · 4 = 18 м². Ответ: 18.

Задание проверяет применение свойств средней линии треугольника к практической задаче.

Столб проходит через середину наклонной стороны горки и параллелен стороне, обозначающей её высоту.

По теореме о средней линии треугольника высота столба вдвое меньше высоты горки: l = h/2.

Получаем l = 3,3/2 = 1,65 м.

Ответ: 1,65.

Задание проверяет умение применять подобие прямоугольных треугольников.

Расстояние от основания фонаря до конца тени равно 4,2 + 2,8 = 7 м.

Треугольники, образованные фонарём и человеком с их тенями, подобны по двум углам: у них есть прямые углы и общий угол у конца тени.

Поэтому отношение роста человека к высоте фонаря равно отношению оснований: h/5 = 2,8/7, откуда h = 5 · 2,8/7 = 2 м.

Ответ: 2.

Задание проверяет умение читать план и находить площадь прямоугольника.

Общая ширина квартиры по нижней стороне равна 2 + 9,5 = 11,5 м.

Ширина второй комнаты равна 11,5 − 3 − 5 = 3,5 м, а её высота по плану составляет 3,5 м.

По формуле S = a · b получаем S = 3,5 · 3,5 = 12,25 м².

Ответ: 12,25.

Задание проверяет умение вычислять площадь прямоугольника и сравнивать площади. Фактическая площадь комнаты равна 4 · 5,3 = 21,2 м². Она больше указанной на плане на 21,2 − 21 = 0,2 м². Ответ: 0,2.

Задание проверяет вычисление периметра прямоугольного участка с учётом проезда.

Периметр прямоугольника: P = 2(a + b) = 2 · (40 + 50) = 180 м.

На месте проезда забор не нужен, поэтому из периметра вычитаем его ширину: 180 − 3 = 177 м.

Ответ: 177.

Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение величин.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = a · b.

Фактическая площадь комнаты равна 5,2 · 6 = 31,2 м².

Она больше указанной на плане на 31,2 − 31 = 0,2 м².

Ответ: 0,2.