Текстовая задача · 188 заданий ФИПИ с ответами
Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, вторую треть со скоростью 120 км/ч, а последнюю со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет текстовые задачи на движение и среднюю скорость. Пусть весь путь равен 3s км; каждая треть занимает соответственно s/40, s/120 и s/70 часа.
Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время: 3s/(s/40 + s/120 + s/70) = 63 км/ч.
Ответ: 63.
Первый насос наполняет бак за 18 минут, второй — за 24 минуты,
а третий — за 36 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Проверяется задача на совместную работу: складываем производительности насосов.
За минуту три насоса наполняют 1/18 + 1/24 + 1/36 = 4/72 + 3/72 + 2/72 = 1/8 бака.
Значит, на весь бак потребуется 8 минут.
Ответ: 8.
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 420 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа
на расстоянии 255 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
Задача проверяет решение задачи на встречное движение. Автомобиль из города B до встречи проехал 255 км, поэтому автомобиль из A проехал 420 − 255 = 165 км.
Его скорость: v = s/t = 165/3 = 55 км/ч.
Ответ: 55.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Даша и Маша, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Маша за 33 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Задание проверяет решение задачи на совместную работу. Вместе Даша и Маша выполняют 1/24 грядки в минуту, а Маша одна — 1/33 грядки в минуту. Скорость Даши равна 1/24 − 1/33 = 1/88 грядки в минуту, значит, одна она пропалывает грядку за 88 минут. Ответ: 88.
Один мастер может выполнить заказ за 45 часов, а другой за 36 часов.
За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
Задание проверяет задачу на совместную работу. За 1 час мастера выполняют 1/45 и 1/36 заказа, вместе — 1/45 + 1/36 = 1/20 заказа. Значит, весь заказ они выполнят за 20 часов.
Ответ: 20.
Имеется два сплава. Первый содержит 20 % никеля, второй 50 % никеля.
Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % никеля. Масса первого сплава равна 10 кг. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго сплава?
Задание проверяет решение задачи на проценты и смеси. Пусть масса второго сплава равна x кг. Составим уравнение по массе никеля: 0,2 · 10 + 0,5x = 0,45 · (10 + x); отсюда x = 50 кг. Первый сплав легче второго на 50 − 10 = 40 кг. Ответ: 40.
Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Настя за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?
Задание проверяет совместную работу. Катя и Настя вместе выполняют за минуту 1/24 грядки, а Настя одна — 1/42 грядки. Скорость работы Кати равна разности: 1/24 − 1/42 = 1/56 грядки в минуту. Значит, одна Катя пропалывает грядку за 56 минут. Ответ: 56.
Первый насос наполняет бак за 35 минут, второй — за 1 час 24 минуты,
а третий — за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Проверяется совместная работа: складываются доли бака, которые насосы наполняют за минуту.
Скорости насосов: 1/35, 1/84 и 1/105 бака в минуту. Их сумма равна 1/20 бака в минуту, поэтому весь бак они наполнят за 20 минут.
Ответ: 20.
Маша и Медведь съели 68 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 13 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 325 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет вычисление средней скорости на пути туда и обратно. При равных расстояниях средняя скорость равна удвоенному произведению скоростей, делённому на их сумму.
v = 2 · 13 · 325 / (13 + 325) = 8450/338 = 25 км/ч.
Ответ: 25.
Моторная лодка прошла против течения реки 224 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет задачу на движение по течению и против течения. Пусть v — скорость лодки в неподвижной воде, км/ч. По условию 224/(v − 1) − 224/(v + 1) = 2; после упрощения получаем v² − 1 = 224, значит v = 15, поскольку скорость положительна.
Ответ: 15.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45 % меди, второй 10 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40 % меди. Масса первого сплава равна 150 кг. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Задание проверяет решение текстовой задачи на проценты с помощью уравнения.
В первом сплаве меди 150 · 0,45 = 67,5 кг. Пусть масса второго сплава равна x кг; тогда 67,5 + 0,1x = 0,4(150 + x).
Получаем 7,5 = 0,3x, откуда x = 25 кг. Масса третьего сплава: 150 + 25 = 175 кг.
Ответ: 175.
Смешали 4 кг 20-процентного раствора вещества с 6 кг 35-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задание проверяет решение текстовой задачи на проценты и смеси. В первом растворе вещества 4 · 0,20 = 0,8 кг, во втором — 6 · 0,35 = 2,1 кг. Всего вещества 2,9 кг, а масса раствора 4 + 6 = 10 кг. Концентрация равна 2,9 : 10 · 100% = 29%. Ответ: 29.
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 240 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа
на расстоянии 130 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет умение находить скорость по расстоянию и времени. Автомобиль из A проехал до встречи 240 − 130 = 110 км. Время до встречи — 2 ч, поэтому его скорость равна 110 / 2 = 55 км/ч. Ответ: 55.
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит
по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 36 часов после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?
Расстояние между городами A и B равно 700 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B со скоростью 85 км/ч выехал второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 360 км от города A. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет решение текстовой задачи на движение. Второй автомобиль проехал 700 − 360 = 340 км; при скорости 85 км/ч это заняло 340/85 = 4 ч.
Первый автомобиль ехал на 2 часа дольше, то есть 6 ч. Его скорость равна 360/6 = 60 км/ч.
Ответ: 60.
Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
Задание проверяет решение текстовой задачи на совместную работу и доли.
Пусть Маша ела варенье 3t времени, а Медведь — t: при скорости Медведя втрое выше они съедят поровну. Тогда на печенье остаются соответственно t и 3t времени; Медведь съел в 9 раз больше печенья, чем Маша. Его доля — 9/10 от 100 печений.
Ответ: 90.
Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующий час —
со скоростью 65 км/ч, а затем один час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет вычисление средней скорости по всему пути: общий путь делят на общее время.
За первые три часа автомобиль проехал 70 · 3 = 210 км, за следующий час — 65 км, за последний час — 45 км.
Общий путь равен 320 км, время — 5 ч. Средняя скорость: 320 : 5 = 64 км/ч.
Ответ: 64.
Расстояние между городами А и В равно 5,6 км. Из города А в город В выехал первый велосипедист со скоростью 12 км/ч, а через несколько минут после этого из города В в город А навстречу первому велосипедисту выехал второй велосипедист со скоростью 14 км/ч. В момент встречи оказалось, что они проехали равные расстояния. Через сколько минут после выезда первого велосипедиста выехал второй?
Задание проверяет применение формулы пути s = vt и перевод часов в минуты. Каждый велосипедист проехал 5,6 : 2 = 2,8 км. Первый затратил 2,8 : 12 = 7/30 ч, второй — 2,8 : 14 = 1/5 ч. Разница составляет 1/30 ч, то есть 2 минуты.
Ответ: 2.
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 19 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 342 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет вычисление средней скорости на пути туда и обратно. При одинаковом расстоянии средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время.
Пусть расстояние в одну сторону равно s км. Тогда весь путь — 2s км, а время — s/19 + s/342 ч.
Средняя скорость равна 2s : (s/19 + s/342) = 36 км/ч.
Ответ: 36.
