Текстовая задача · 188 заданий ФИПИ с ответами
Смешали 4 кг 35-процентного раствора вещества с 11 кг 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задание проверяет решение текстовой задачи на проценты и смеси.
В первом растворе содержится 4 · 0,35 = 1,4 кг вещества, во втором — 11 · 0,05 = 0,55 кг.
Всего вещества 1,95 кг, а масса смеси 15 кг. Концентрация: 1,95/15 · 100% = 13%.
Ответ: 13.
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 150 км/ч, а последнюю — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет вычисление средней скорости на всём пути. Пусть длина каждой трети равна s км. Тогда общее время: s/30 + s/150 + s/100 = s/20 ч. Средняя скорость равна 3s ÷ (s/20) = 60 км/ч.
Ответ: 60.
Первый час автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие два часа —
со скоростью 75 км/ч, а затем два часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет вычисление средней скорости по всему пути: нужно разделить общий путь на общее время.
За первый час автомобиль проехал 80 км, за следующие два часа — 75 · 2 = 150 км, за последние два часа — 50 · 2 = 100 км.
Общий путь равен 330 км, время — 5 ч. Средняя скорость: 330 : 5 = 66 км/ч.
Ответ: 66.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка кваса объёмом 1 литр стоит
35 рублей, объёмом 2 литра 65 рублей. Сколько рублей будет стоить бутылка кваса объёмом 1,5 литра?
Задание проверяет составление выражения по стоимости бутылки и жидкости.
Разница между ценами за 2 л и 1 л равна цене литра кваса: 65 − 35 = 30 рублей. Пустая бутылка стоит 35 − 30 = 5 рублей. Тогда бутылка объёмом 1,5 л стоит 5 + 1,5 · 30 = 50 рублей.
Ответ: 50.
Первый насос наполняет бак за 30 минут, второй — за 1 час 35 минут,
а третий — за 1 час 54 минуты. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Задание проверяет совместную работу насосов. За минуту три насоса наполняют 1/30 + 1/95 + 1/114 = 1/19 бака. Значит, весь бак они наполнят за 19 минут. Ответ: 19.
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной
8 метров?
Проверяется задача на сумму арифметической прогрессии: цена каждого следующего метра на 1700 рублей больше предыдущей.
Цены образуют прогрессию с a₁ = 3700, d = 1700, n = 8. Сумма равна S₈ = 8(2 · 3700 + 7 · 1700) / 2 = 77 200 рублей.
Ответ: 77200.
Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку
до опушки леса, находящейся в 5,3 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,5 км/ч, а второй со скоростью 2,8 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
Задание проверяет решение задачи на движение. Второй человек доходит до опушки за 5,3 / 2,8 = 53/28 ч; за это время первый проходит 2,5 · 53/28 = 265/56 км. После разворота расстояние между ними равно 5,3 − 265/56 = 63/40 км, а скорость сближения — 2,8 + 2,5 = 5,3 км/ч. За 3/8 ч они встречаются, и первый проходит ещё 2,5 · 3/8 = 15/16 км; место встречи находится в 265/56 + 15/16 = 5 км от дома. Ответ: 5.
Первый насос наполняет бак за 12 минут, второй — за 54 минуты, а третий — за 1 час 48 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Задание проверяет решение текстовой задачи на совместную работу насосов.
Переведём время третьего насоса в минуты: 1 ч 48 мин = 108 мин. За минуту насосы наполняют соответственно 1/12, 1/54 и 1/108 бака.
Общая производительность: 1/12 + 1/54 + 1/108 = 1/9 бака в минуту. Значит, бак наполнится за 9 минут.
Ответ: 9.
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 22 км/ч, проходит
по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 28 часов после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?
Проверяется решение задачи на движение по течению и против течения.
Скорости теплохода равны 22 + 2 = 24 км/ч по течению и 22 − 2 = 20 км/ч против течения. На движение пришлось 28 − 6 = 22 часа. Если расстояние в одну сторону равно s км, то s/24 + s/20 = 22, откуда s = 240 км. За весь рейс пройдено 2 · 240 = 480 км.
Ответ: 480.
Имеется два сплава. Первый содержит 10 % никеля, второй — 45 % никеля.
Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % никеля. Масса первого сплава равна 60 кг. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Задание проверяет решение задачи на смеси и проценты.
Пусть масса второго сплава равна x кг. По содержанию никеля получаем уравнение: 0,10 · 60 + 0,45x = 0,35(60 + x).
Отсюда 0,10x = 15, значит, x = 150 кг. Первый сплав легче второго на 150 − 60 = 90 кг.
Ответ: 90.
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина
равна 15 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из них 5 часов ушло
на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет составление уравнения для движения. На спуск ушло 5 ч, значит, на подъём ушло 10 − 5 = 5 ч. Пусть скорость на подъёме равна v км/ч, тогда скорость на спуске равна v + 1 км/ч. По длине дороги: 5v + 5(v + 1) = 15, откуда v = 1 км/ч. Скорость на спуске равна 1 + 1 = 2 км/ч. Ответ: 2.
Один мастер может выполнить некоторый заказ за 42 часа, а другой выполнит этот же заказ за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
Задание проверяет решение задачи на совместную работу. За час первый мастер выполняет 1/42 заказа, а второй — 1/21.
Вместе они выполняют за час 1/42 + 1/21 = 3/42 = 1/14 заказа. Значит, весь заказ будет выполнен за 14 часов.
Ответ: 14.
Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 24 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 4 км/ч больше скорости пешехода. Найдите скорость пешехода. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет решение задачи на движение навстречу: при встречном движении скорости складываются.
Общая скорость равна 24 : 2 = 12 км/ч.
Пусть скорость пешехода равна x км/ч. Тогда скорость велосипедиста — x + 4 км/ч, поэтому x + (x + 4) = 12.
Отсюда 2x = 8 и x = 4 км/ч.
Ответ: 4
Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 3 часа. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 больше, чем у Сергея.
За какое время они втроём выполнят окрашивание деталей, порученных Сергею? Ответ выразите в часах.
Задание проверяет решение задачи на совместную работу. Если Сергей выполняет работу за 3 ч, его скорость равна 1/3 работы в час. Скорости двух помощников равны 1,5 · 1/3 = 1/2 и 1,25 · 1/3 = 5/12 работы в час. Общая скорость составляет 1/3 + 1/2 + 5/12 = 5/4 работы в час, значит, на всю работу потребуется 1 ÷ 5/4 = 0,8 ч. Ответ: 0,8.
Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 7 км/ч больше скорости пешехода. Найдите скорость пешехода. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет составление уравнения по условию движения. За 2 ч пешеход проходит 2x км, а велосипедист — 2(x + 7) км, где x — скорость пешехода в км/ч. Вместе они проходят 30 км: 2x + 2(x + 7) = 30, откуда 4x = 16 и x = 4. Ответ: 4.
Расстояние между городами A и B равно 690 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему
из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 450 км от города A. Ответ дайте в км/ч.
Задача проверяет движение навстречу друг другу: расстояния до места встречи в сумме равны 690 км. Второй автомобиль проехал 690 − 450 = 240 км со скоростью 80 км/ч, значит, был в пути 240/80 = 3 часа. Первый автомобиль ехал на 3 часа дольше, то есть 6 часов, и преодолел 450 км. Его скорость равна 450/6 = 75 км/ч. Ответ: 75.
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?
Задание проверяет нахождение суммы членов арифметической прогрессии: цена каждого следующего метра увеличивается на 1300 рублей.
Девятый метр стоит 4300 + 8 · 1300 = 14700 рублей. Общая стоимость: (4300 + 14700) · 9 / 2 = 85500 рублей.
Ответ: 85500.
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующий час —
со скоростью 50 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет вычисление средней скорости на всём пути: общий путь делят на общее время.
За первые два часа автомобиль проехал 55·2 = 110 км, за следующий час — 50 км, за последние два часа — 40·2 = 80 км.
Всего он проехал 240 км за 5 ч, поэтому средняя скорость равна 240 : 5 = 48 км/ч.
Ответ: 48
Первый насос наполняет бак за 34 минуты, второй — за 1 час 42 минуты,
а третий — за 1 час 59 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Задание проверяет текстовые задачи на совместную работу. Скорости насосов: 1/34, 1/102 и 1/119 бака в минуту.
За минуту они вместе заполняют 1/34 + 1/102 + 1/119 = 1/21 бака, значит, весь бак наполнят за 21 минуту.
Ответ: 21.
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина
равна 34 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из которых 8 часов ушло
на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости
на подъёме на 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задача проверяет составление уравнения на движение: расстояние равно произведению скорости на время.
Пусть скорость на подъёме равна v км/ч, тогда на спуске — v + 3 км/ч. На подъём ушло 2 ч, поэтому 2v + 8(v + 3) = 34.
Получаем 10v = 10, значит, скорость на спуске равна v + 3 = 4 км/ч. Ответ: 4.
