Задание 20 ЕГЭ по базовой математике

Задача проверяет вычисление общей производительности. Если Сергей выполняет поручение за 6 ч, его скорость равна 1/6 поручения в час. Скорости двух помощников равны 1,5 · 1/6 и 1,25 · 1/6 поручения в час. Общая скорость: (1 + 1,5 + 1,25)/6 = 3,75/6 поручения в час, поэтому время равно 6/3,75 = 1,6 ч.

Ответ: 1,6.

Задача проверяет составление уравнения на движение: расстояние равно произведению скорости на время.

Пусть скорость на подъёме равна v км/ч, тогда на спуске — v + 2 км/ч. На подъём ушло 8 ч, поэтому 8v + 3(v + 2) = 17.

Получаем 11v = 11, значит, скорость на спуске равна v + 2 = 3 км/ч. Ответ: 3.

Задание проверяет нахождение средней скорости на всём пути. Пусть расстояние в одну сторону равно s км. Тогда на весь путь путешественник затратил s/14 + s/378 часа, а прошёл 2s км.

Средняя скорость равна 2s ÷ (s/14 + s/378) = 27 км/ч.

Ответ: 27.

Задание проверяет вычисление процентов в растворе. Масса вещества в исходном растворе равна 7 · 0,26 = 1,82 кг.

После добавления воды масса раствора стала 7 + 6 = 13 кг, а масса вещества не изменилась. Концентрация равна 1,82 / 13 · 100% = 14%.

Ответ: 14.

Задание проверяет расчёт процентов в сплаве. В 30 кг первого сплава содержится 30 · 0,25 = 7,5 кг меди. Пусть масса второго сплава равна x кг; тогда 7,5 + 0,05x = 0,20(30 + x), откуда x = 10. Масса третьего сплава: 30 + 10 = 40 кг.

Ответ: 40.

Задание проверяет решение текстовой задачи на встречное движение. За 2 часа они вместе проходят 30 км, значит сумма их скоростей равна 30 : 2 = 15 км/ч.

Пусть скорость пешехода равна x км/ч. Тогда скорость велосипедиста — x + 9 км/ч, и x + (x + 9) = 15. Получаем 2x = 6, x = 3 км/ч.

Ответ: 3.

Задание проверяет вычисление средней скорости на всём пути. При равных расстояниях средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время.

Пусть расстояние в одну сторону равно s км. Тогда средняя скорость: 2s / (s/15 + s/435) = 2 · 15 · 435 / (15 + 435) = 29 км/ч.

Ответ: 29.

Задание проверяет решение текстовой задачи на скорость выполнения работы. Если в тесте n вопросов, Петя затратит n/8 часа, а Ваня — n/10 часа. Разница составляет 51 минуту, то есть 0,85 часа: n/8 − n/10 = 0,85. Отсюда n/40 = 0,85 и n = 34.

Ответ: 34.

Задание проверяет решение задачи на проценты и составление уравнения. Пусть масса второго сплава равна x кг. По содержанию никеля: 0,05 · 65 + 0,5x = 0,35(65 + x), откуда x = 130 кг. Масса первого сплава меньше на 130 − 65 = 65 кг.

Ответ: 65.

Задача проверяет применение формулы движения s = vt.

Автомобиль из города A проехал 260 − 160 = 100 км за 2 ч.

Его скорость равна 100/2 = 50 км/ч. Ответ: 50.

Задание проверяет решение задачи на встречное движение. За первые 3 ч первый автомобиль проехал 50 × 3 = 150 км, осталось 610 − 150 = 460 км. После выезда второго скорость сближения равна 50 + 65 = 115 км/ч, поэтому до встречи прошло 460 : 115 = 4 ч. Первый автомобиль ехал всего 3 + 4 = 7 ч и прошёл 50 × 7 = 350 км. Ответ: 350.

Задание проверяет задачу на производительность и время. Если в тесте x вопросов, Петя затратит x/10 часа, а Ваня — x/24 часа. Разница равна 70 минутам, то есть 7/6 часа: x/10 − x/24 = 7/6, откуда 7x/120 = 7/6 и x = 20.

Ответ: 20.

Задача проверяет решение текстовой задачи на движение. Первый автомобиль проехал 330 км, второй — 780 − 330 = 450 км; второй был в пути на час меньше. Если скорость первого равна v км/ч, то 330/v − 450/90 = 1. Получаем 330/v = 6, поэтому v = 55 км/ч. Ответ: 55.

Задание проверяет решение задачи на совместную работу.

Юля и Уля вместе пропалывают 1/24 грядки за минуту, а Уля одна — 1/120 грядки за минуту. Производительность Юли равна 1/24 − 1/120 = 1/30 грядки в минуту, значит, одна Юля справится за 30 минут.

Ответ: 30.

Проверяется задача на совместную работу: складываем производительности маляров.

Если Сергей выполняет поручение за 9 часов, его производительность равна 1/9 поручения в час. Производительности помощников равны 1,5/9 и 1,25/9.

Вместе они выполняют (1 + 1,5 + 1,25)/9 = 3,75/9 поручения в час. Время работы: 9/3,75 = 2,4 часа.

Ответ: 2,4.

Задание проверяет решение задачи на совместную работу.

За 1 час мастера выполняют 1/36 и 1/12 заказа. Вместе они выполняют 1/36 + 1/12 = 1/9 заказа в час, поэтому весь заказ выполнят за 9 часов.

Ответ: 9.

Задача проверяет вычисления с процентами и составление уравнения для смеси. Пусть масса второго сплава равна x кг. По содержанию меди: 0,10 · 70 + 0,50x = 0,15(70 + x).

Решаем: 7 + 0,50x = 10,5 + 0,15x, откуда x = 10 кг. Масса третьего сплава равна 70 + 10 = 80 кг.

Ответ: 80.

Задача проверяет составление уравнения на движение с учётом течения. Если скорость лодки в стоячей воде равна v км/ч, то скорости против течения и по течению равны v − 1 и v + 1 км/ч.

По условию: 99/(v − 1) − 99/(v + 1) = 2. После упрощения получаем v² − 1 = 99, значит, v² = 100; подходит v = 10 км/ч.

Ответ: 10.

Задание проверяет умение решать задачу на движение по течению и против течения. Скорости теплохода составляют 29 + 1 = 30 км/ч по течению и 29 − 1 = 28 км/ч против течения. На движение пришлось 31 − 2 = 29 ч. Пусть расстояние до места стоянки равно s км: s / 30 + s / 28 = 29, откуда s = 420 км. Весь рейс — 2 × 420 = 840 км. Ответ: 840.

Задание проверяет совместную работу. За час мастера выполняют 1/15 и 1/10 заказа, вместе — 1/15 + 1/10 = 1/6 заказа. Значит, весь заказ они выполнят за 6 часов.

Ответ: 6