Задание 6 ЕГЭ по профильной математике

Представим правую часть как степень с основанием 5: 125 = 5³.
Тогда 5^(x − 2) = 5³.
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны при равных показателях: x − 2 = 3.
Получаем x = 5.
Ответ: 5.

ОДЗ: 5x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1/5.
Обе части уравнения √(5x − 1) = 7 неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно: 5x − 1 = 49.
Отсюда 5x = 50, значит, x = 10.
Проверка: √(5 · 10 − 1) = √49 = 7.
Ответ: 10.

Представим правую часть как степень с основанием 1/7: 49 = (1/7)⁻².
Тогда (1/7)^(x + 4) = (1/7)⁻².
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны при равных показателях: x + 4 = −2.
Получаем x = −6.
Ответ: −6.

ОДЗ: x − 2 > 0, то есть x > 2.

Логарифмы с одинаковым основанием 2 равны, когда равны их аргументы: x − 2 = 11.

Отсюда x = 13. Условие x > 2 выполнено.

Ответ: 13.

Представим правую часть как степень тройки: 27 = 3³.

Степени с одинаковым основанием 3 равны, когда равны показатели: 15 − x = 3.

Следовательно, x = 15 − 3 = 12.

Ответ: 12.

ОДЗ: 1 − x > 0, то есть x < 1.

Логарифмы с одинаковым основанием 7 равны, когда равны их аргументы: 1 − x = 5.

Получаем x = −4. Условие x < 1 выполнено.

Ответ: −4.

Квадратный корень равен 6 тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно 6².

Поэтому 57 − 7x = 36, откуда 7x = 21 и x = 3.

Проверка: √(57 − 7 · 3) = √36 = 6.

Ответ: 3.

Квадратный корень равен 2 тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно 2².

Поэтому 7x − 31 = 4, откуда 7x = 35 и x = 5.

Проверка: √(7 · 5 − 31) = √4 = 2.

Ответ: 5.

Возведём обе части уравнения √(63 − 9x) = 3 в квадрат:
63 − 9x = 9.
−9x = −54, откуда x = 6.
Проверка: √(63 − 9 · 6) = √9 = 3.
Ответ: 6.

Представим обе части уравнения как степени числа 5:
(1/5)^(x − 5) = 5^(5 − x), 125 = 5³.
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны при равных показателях.
5 − x = 3, откуда x = 2.
Ответ: 2.

Представим правую часть как степень числа 5: 25 = 5².
Получаем 5^(11 − x) = 5².
Поскольку основание 5 положительно и не равно 1, приравняем показатели: 11 − x = 2.
Отсюда x = 9.
Ответ: 9.

Запишем 64 = 4³. Тогда (x − 5)³ = 4³.
Функция y = x³ строго возрастает, поэтому равным кубам соответствуют равные основания.
x − 5 = 4.
Отсюда x = 9.
Ответ: 9.

Представим правую часть как степень числа 2: 16 = 2⁴.
Получаем 2^(−4 − x) = 2⁴.
Поскольку основание 2 положительно и не равно 1, приравняем показатели: −4 − x = 4.
−x = 8, откуда x = −8.
Ответ: −8.

По определению логарифма log₃(x + 64) = 4 означает x + 64 = 3⁴.
Вычисляем: x + 64 = 81, откуда x = 17.
Проверяем ОДЗ: x + 64 > 0; при x = 17 получаем 81 > 0.
Ответ: 17.

Функция y = x³ строго возрастает, поэтому равные кубы имеют равные основания.
Так как −125 = (−5)³, получаем x + 4 = −5.
Отсюда x = −5 − 4 = −9.
Ответ: −9.

ОДЗ: 5x + 11 ≥ 0, то есть x ≥ −11/5.
Обе части уравнения √(5x + 11) = 4 неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно.
Получаем 5x + 11 = 16, откуда 5x = 5 и x = 1.
Число 1 входит в ОДЗ; проверка: √(5 · 1 + 11) = √16 = 4.
Ответ: 1.

Представляем правую часть как степень с основанием 6: 36 = 6².
Поскольку показательная функция с основанием 6 строго возрастает, из 6 в степени (x − 5) = 6² следует x − 5 = 2.
Получаем x = 2 + 5 = 7.
Ответ: 7.

ОДЗ: 8 − x > 0, то есть x < 8.
Логарифмы с одинаковым основанием 5 равны тогда и только тогда, когда равны их положительные аргументы.
Поэтому 8 − x = 2, откуда x = 6.
Проверяем ОДЗ: 6 < 8, значит, корень подходит.
Ответ: 6.

Представим правую часть как степень числа 2: 1/16 = 2^(−4).

Получаем 2^(x − 3) = 2^(−4). При одинаковом основании 2 степени равны, если равны их показатели.

x − 3 = −4, откуда x = −1.

Ответ: −1.

Представим правую часть как степень числа 7: 49 = 7².

Получаем 7^(11 − x) = 7². При одинаковом основании 7 приравниваем показатели.

11 − x = 2, откуда x = 9.

Ответ: 9.