Задание 7 ЕГЭ по профильной математике

$64=4^3$, поэтому $4^{x-4}=4^3$, откуда $x-4=3$, $x=7$.

Возведём обе части в квадрат: $99-7x=36$, $7x=63$, $x=9$.

Проверка: $\sqrt{99-63}=\sqrt{36}=6$ — верно.

По определению логарифма $5x+47=8^3=512$, $5x=465$, $x=93$.

Представим правую часть как степень числа 5: 125 = 5³.
Получаем 5^(2 − x) = 5³.
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны, когда равны их показатели: 2 − x = 3.
Отсюда x = −1.
Ответ: −1.

Используем правило отрицательной степени: 1/81 = 1/3⁴ = 3^(−4).
Тогда 3^(x − 10) = 3^(−4).
При одинаковых основаниях, положительных и отличных от 1, приравниваем показатели: x − 10 = −4.
Получаем x = 6.
Ответ: 6.

По правилу отрицательной степени 1/27 = 1/3³ = 3^(−3).
Уравнение принимает вид 3^(x − 11) = 3^(−3).
Степени с основанием 3 равны, поэтому их показатели равны: x − 11 = −3.
Отсюда x = 8.
Ответ: 8.

По определению кубического корня равенство ∛(x + 6) = 4 равносильно равенству x + 6 = 4³.
Вычисляем: x + 6 = 64.
Следовательно, x = 64 − 6 = 58.
Ответ: 58.

Область допустимых значений: x − 4 > 0, то есть x > 4.
По определению логарифма log₄(x − 4) = 3 означает x − 4 = 4³.
Получаем x − 4 = 64, откуда x = 68.
Число 68 удовлетворяет условию x > 4.
Ответ: 68.

Возведём обе части уравнения ∛(x + 3) = 3 в куб. Это равносильный переход для кубического корня.
x + 3 = 3³ = 27.
x = 27 − 3 = 24.
Ответ: 24.

Приведём степени к основанию 3: 9 = 3².
Получим 3^(x + 6) = (3²)^(2x) = 3^(4x).
Степени с одинаковым положительным основанием, не равным 1, равны тогда и только тогда, когда равны их показатели: x + 6 = 4x.
3x = 6, откуда x = 2.
Ответ: 2.

Представим правую часть как степень тройки: 81 = 3⁴.
Получим 3^(x + 2) = 3⁴. Поскольку основание положительно и не равно 1, приравняем показатели.
x + 2 = 4, откуда x = 2.
Ответ: 2.

Правая часть уравнения √(99 − 7x) = 6 неотрицательна, поэтому уравнение равносильно равенству подкоренного выражения квадрату правой части.
99 − 7x = 6² = 36.
7x = 63, откуда x = 9.
Проверка: √(99 − 7 · 9) = √36 = 6.
Ответ: 9.

Правая часть уравнения √(9x − 47) = 4 неотрицательна, поэтому уравнение равносильно равенству подкоренного выражения квадрату правой части.
9x − 47 = 4² = 16.
9x = 63, откуда x = 7.
Проверка: √(9 · 7 − 47) = √16 = 4.
Ответ: 7.

Представим правую часть как степень числа 8: 64 = 8².
Получаем: 8^(9 − x) = 8².
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны, когда равны их показатели: 9 − x = 2.
Отсюда x = 7.
Ответ: 7.

Используем свойства степеней: (1/6)^(x − 2) = 6^(2 − x).
Уравнение принимает вид: 6^(2 − x) = 6^x.
При одинаковом положительном основании, отличном от 1, приравниваем показатели: 2 − x = x.
Получаем 2x = 2, поэтому x = 1.
Ответ: 1.

Квадратный корень равен 2, поэтому подкоренное выражение равно 2².
Получаем: 36 − 4x = 4.
Тогда 4x = 32, откуда x = 8.
Проверка: √(36 − 4 · 8) = √4 = 2.
Ответ: 8.

Квадратный корень равен 3, поэтому подкоренное выражение равно 3².
Получаем: 44 − 5x = 9.
Тогда 5x = 35, откуда x = 7.
Проверка: √(44 − 5 · 7) = √9 = 3.
Ответ: 7.

Представим правую часть как степень числа 2: 32 = 2⁵.
Получаем: 2^(11 − x) = 2⁵.
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны, когда равны их показатели: 11 − x = 5.
Отсюда x = 6.
Ответ: 6.

Представим правую часть как степень с основанием 3: 1/27 = 3⁻³.
Тогда 3^(x − 5) = 3⁻³.
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны при равных показателях: x − 5 = −3.
Получаем x = 2.
Ответ: 2.

ОДЗ: 3x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4/3.
Умножим обе части уравнения на ненулевой знаменатель: 1 = 5(3x − 4).
Раскрываем скобки: 1 = 15x − 20, откуда 15x = 21.
Получаем x = 21/15 = 1,4. Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1,4.