Задание 7 ЕГЭ по профильной математике

Область допустимых значений: 20 − x > 0, то есть x < 20.

По определению логарифма log₅(20 − x) = 2 равносильно 20 − x = 5².

20 − x = 25, откуда x = −5.

Проверим ОДЗ: −5 < 20, поэтому корень подходит.

Ответ: −5.

Представим правую часть как степень: 1/36 = (1/6)².

Получаем (1/6)^(x − 3) = (1/6)². Основание 1/6 положительно и не равно 1, поэтому приравниваем показатели.

x − 3 = 2, откуда x = 5.

Ответ: 5.

Поскольку 64 = 4³, имеем 1/64 = 4^(−3).

Получаем 4^(x − 7) = 4^(−3). При одинаковом основании 4 приравниваем показатели.

x − 7 = −3, откуда x = 4.

Ответ: 4.

Возведём обе части уравнения √(3x + 49) = 10 в квадрат:
3x + 49 = 100.
3x = 51, откуда x = 17.
Проверка: √(3 · 17 + 49) = √100 = 10.
Ответ: 17.

Логарифмы с одинаковым основанием 3 равны, если равны их аргументы.
ОДЗ: 15 − x > 0, то есть x < 15.
Получаем 15 − x = 7, откуда x = 8.
Число 8 удовлетворяет ОДЗ: 8 < 15.
Ответ: 8.

Возведём обе части уравнения √(6x + 57) = 9 в квадрат:
6x + 57 = 81.
6x = 24, откуда x = 4.
Проверка: √(6 · 4 + 57) = √81 = 9.
Ответ: 4.

Представим правую часть как степень с основанием 9: 81 = 9².
При одинаковом положительном основании, отличном от 1, равенство степеней означает равенство показателей.
Поэтому −2 − x = 2.
−x = 4, откуда x = −4.
Ответ: −4.

Представим правую часть как степень с основанием 4: 64 = 4³.
При одинаковом положительном основании, отличном от 1, равенство степеней означает равенство показателей.
Поэтому x − 4 = 3.
Получаем x = 7.
Ответ: 7.

Обе части уравнения √(76 − 2x) = 8 неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат.
76 − 2x = 64.
−2x = −12, откуда x = 6.
Проверка: √(76 − 2 · 6) = √64 = 8.
Ответ: 6.

Представим правую часть как степень числа 3: 1/81 = 3⁻⁴.
Получаем 3^(x − 8) = 3⁻⁴.
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны при равных показателях: x − 8 = −4.
Следовательно, x = 4.
Ответ: 4.

Обе части уравнения √(22 − 3x) = 2 неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат.
22 − 3x = 4.
−3x = −18, откуда x = 6.
Проверка: √(22 − 3 · 6) = √4 = 2.
Ответ: 6.

ОДЗ: x + 4 > 0, то есть x > −4.
Логарифмы с одинаковым основанием 3 равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы.
Поэтому x + 4 = 16, откуда x = 12.
Число 12 удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 12.

Представим правую часть как степень числа 4: 64 = 4³.
Получаем 4^(x − 3) = 4³.
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны при равных показателях: x − 3 = 3.
Следовательно, x = 6.
Ответ: 6.

Возведём обе части уравнения √(8x − 20) = 2 в квадрат:
8x − 20 = 4.
8x = 24, откуда x = 3.
Проверка: √(8 · 3 − 20) = √4 = 2 — верно.
Ответ: 3.

Представим правую часть как степень основания 1/4: 1/16 = (1/4)².
Получаем (1/4)^(x − 5) = (1/4)².
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны только при равных показателях: x − 5 = 2.
Следовательно, x = 7.
Ответ: 7.

Представим правую часть как степень числа 4: 1/64 = 4^(−3).
Получаем 4^(x − 12) = 4^(−3).
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны только при равных показателях: x − 12 = −3.
Следовательно, x = 9.
Ответ: 9.

Представим 81 как степень основания 1/3: 81 = 3⁴ = (1/3)^(−4).
Получаем (1/3)^(3 − x) = (1/3)^(−4).
Степени с одинаковым положительным основанием, отличным от 1, равны только при равных показателях: 3 − x = −4.
Следовательно, x = 7.
Ответ: 7.