Задание 9 ЕГЭ по профильной математике

Область определения функции: x ≥ 0. При x > 0 её производная равна y′ = (3/2)√x − 21.

Найдём нуль производной: (3/2)√x − 21 = 0, откуда √x = 14, x = 196.

При 0 < x < 196 производная отрицательна, а при x > 196 положительна.

Функция убывает до x = 196 и возрастает после, поэтому это точка минимума.

Ответ: 196.

Максимум функции достигается в точке, где производная меняет знак с плюса на минус.

На графике y = f′(x) нужно посчитать переходы через ось абсцисс сверху вниз с абсциссами из [−6; 8].

На этом отрезке такой переход один. Касание оси без смены знака точку максимума не даёт.

Ответ: 1.

Производная отрицательна в точках, где график функции имеет наклон вниз при движении слева направо.

Среди отмеченных точек это x₂, x₃, x₅, x₆, x₈ и x₁₀.

Всего таких точек 6.

Ответ: 6.

Производная равна нулю в точке, где касательная к графику горизонтальна.
На изображённом графике такая точка — точка минимума функции.
Её абсцисса x = −2, поэтому f′(−2) = 0.
Ответ: −2.

Значение производной f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной.
На касательной отмечены точки (−1; 3) и (4; 2).
Поэтому f′(x₀) = (2 − 3)/(4 − (−1)) = −1/5 = −0,2.
Ответ: −0,2.

Область определения функции: x ≥ 0.
При x > 0 производная равна y′ = 24 − 3√x/2.
Решим уравнение y′ = 0: √x = 16, откуда x = 256.
При 0 < x < 256 производная положительна, а при x > 256 — отрицательна.
Функция возрастает до x = 256 и убывает после, поэтому это точка максимума.
Ответ: 256.

Значение производной f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной.
На касательной отмечены точки (−3; 8) и (1; 2).
Поэтому f′(x₀) = (2 − 8)/(1 − (−3)) = −6/4 = −1,5.
Ответ: −1,5.