Задание 9 ЕГЭ по профильной математике

Область определения: x ≥ 0. Запишем функцию: y = 2x√x − 18x + 21.
При x > 0 её производная равна y′ = 3√x − 18.
Решим уравнение y′ = 0: √x = 6, откуда x = 36.
При 0 < x < 36 производная отрицательна, при x > 36 — положительна.
Функция убывает до x = 36 и возрастает после, поэтому x = 36 — точка минимума.
Ответ: 36.

Производная f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной.
По клеткам касательная проходит через точки (−1; 1) и (1; 4).
Её угловой коэффициент k = (4 − 1)/(1 − (−1)) = 3/2 = 1,5.
Следовательно, f′(x₀) = 1,5.
Ответ: 1,5.

Найдём производную: y′ = 3x² − 24x + 36 = 3(x − 2)(x − 6).
Критические точки: x = 2 и x = 6.
При x < 2 и x > 6 производная положительна, при 2 < x < 6 — отрицательна.
В точке x = 6 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому функция переходит от убывания к возрастанию.
Следовательно, точка минимума равна 6.
Ответ: 6.

Производная отрицательна в тех точках, где график функции убывает.

Из отмеченных точек на участках убывания расположены x₁, x₃, x₆ и x₉.

Таких точек четыре.

Ответ: 4.

Найдём производную: y′ = −10 sin x + 14.

Так как sin x ≤ 1, то y′ ≥ 14 − 10 = 4 > 0.

Функция возрастает на всём отрезке [0; 3π/2], поэтому минимум достигается при x = 0.

y(0) = 10 cos 0 + 14 · 0 + 9 = 19.

Ответ: 19.

Найдём производную: y′ = 10 cos x − 36/π.

Так как cos x ≤ 1 и 36/π > 10, то y′ ≤ 10 − 36/π < 0.

Функция убывает на отрезке [−5π/6; 0], поэтому максимум достигается при x = −5π/6.

y(−5π/6) = 10 · (−1/2) − (36/π) · (−5π/6) + 7 = −5 + 30 + 7 = 32.

Ответ: 32.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = Δy/Δx.

На касательной отмечены точки с координатами (−2; 2) и (3; 3).

Поэтому f′(x₀) = (3 − 2)/(3 − (−2)) = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

При x > 0 производная функции равна y′ = 12 − 6√x.

Найдём стационарную точку: 12 − 6√x = 0, откуда √x = 2 и x = 4.

При 0 < x < 4 производная положительна, а при 4 < x < 12 — отрицательна.

Функция непрерывна на [0; 12], возрастает до x = 4 и затем убывает, поэтому максимум достигается при x = 4.

y(4) = 7 + 12 · 4 − 4 · 4 · √4 = 7 + 48 − 32 = 23.

Ответ: 23.

Область определения: x > 0. Точка минимума определяется по смене знака производной с минуса на плюс.

y′ = 4x − 23 + 33/x = (4x² − 23x + 33)/x.

Решим уравнение y′ = 0: (4x − 11)(x − 3) = 0, откуда x = 11/4 или x = 3.

Поскольку x > 0, знак производной совпадает со знаком произведения (4x − 11)(x − 3): плюс на (0; 11/4), минус на (11/4; 3), плюс на (3; +∞).

При x = 3 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

Ответ: 3.

Производная f′(x) положительна в тех отмеченных точках, где график функции возрастает и касательная имеет положительный наклон.

По рисунку это точки x₄, x₅, x₆, x₈ и x₁₀.

В остальных отмеченных точках график убывает, поэтому производная отрицательна.

Всего подходящих точек 5.

Ответ: 5.

Область определения: x + 3 > 0, то есть x > −3.

Найдём производную: y′ = 9 − 9/(x + 3) = 9(x + 2)/(x + 3).

Производная равна нулю при x = −2. Эта точка принадлежит области определения.

Знаменатель положителен: на (−3; −2) производная отрицательна, а на (−2; +∞) положительна.

Функция сначала убывает, затем возрастает, поэтому x = −2 — точка минимума.

Ответ: −2.

Точка экстремума функции f(x) определяется по смене знака её производной.

На графике y = f′(x) нужно посчитать пересечения оси абсцисс со сменой знака, абсциссы которых принадлежат [−16; 1].

На этом отрезке график производной трижды переходит из области отрицательных значений в область положительных и дважды — обратно.

Таким образом, функция имеет три точки минимума и две точки максимума: всего 3 + 2 = 5 точек экстремума.

Ответ: 5.

Область определения: x − 7 > 0, то есть x > 7.

Найдём производную: y′ = 3 − 3/(x − 7) = 3(x − 8)/(x − 7).

Производная равна нулю при x = 8. Эта точка принадлежит области определения.

Знаменатель положителен: на (7; 8) производная отрицательна, а на (8; +∞) положительна.

При x = 8 убывание сменяется возрастанием, поэтому это точка минимума.

Ответ: 8.

Производная f′(x) отрицательна в точках, где график функции идёт вниз при движении слева направо.

Среди отмеченных точек это x₄ и x₇.

В точке x₁ график возрастает; третья точка убывания — x₃.

Всего таких точек 3.

Ответ: 3.

Если f′(x) < 0 на промежутке, то функция f(x) на нём убывает.

На всём отрезке [−7; −5] график производной расположен ниже оси абсцисс, поэтому f′(x) < 0.

Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, при x = −7.

Ответ: −7.

На отрезке [−6,5; 0] выполнено x + 7 > 0, поэтому функция определена.

Найдём производную: y′ = 9/(x + 7) − 9 = −9(x + 6)/(x + 7).

Производная равна нулю при x = −6. Слева от этой точки она положительна, справа — отрицательна.

Значит, функция возрастает на [−6,5; −6] и убывает на [−6; 0], поэтому максимум достигается при x = −6.

y(−6) = 9 ln 1 − 9 · (−6) + 4 = 58.

Ответ: 58.

Функция f(x) возрастает на промежутках, где f′(x) > 0.

На графике производной этим промежуткам соответствуют участки выше оси абсцисс.

Среди отмеченных точек на таких участках находятся x₁, x₂, x₄ и x₆. Их количество равно 4.

Ответ: 4.

Функция f(x) убывает на промежутках, где f′(x) < 0.

На графике производной этим промежуткам соответствуют участки ниже оси абсцисс.

Им принадлежат точки x₁, x₂, x₃, x₆ и x₇. Всего таких точек 5.

Ответ: 5.

Найдём производную: y′ = 9 − 9/(x + 11) = 9(x + 10)/(x + 11).

На всём отрезке [−10,5; 0] знаменатель положителен. Производная равна нулю при x = −10.

При x < −10 производная отрицательна, а при x > −10 — положительна. Поэтому функция достигает наименьшего значения на отрезке при x = −10.

y(−10) = −90 − 9 ln 1 + 7 = −83.

Ответ: −83.

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.

В точках 1 и 4 график возрастает, поэтому производная положительна.

В точках 2 и 3 график убывает, поэтому производная отрицательна. В точке 2 наклон вниз круче, чем в точке 3.

Следовательно, наименьшее значение производной среди отмеченных точек достигается в точке 2.

Ответ: 2.