Задание 9 ЕГЭ по профильной математике

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
На касательной отмечены точки (2; 3) и (7; −4).
f′(x₀) = (−4 − 3)/(7 − 2) = −7/5 = −1,4.
Ответ: −1,4.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
На касательной отмечены точки (−3; 3) и (2; 1).
f′(x₀) = (1 − 3)/(2 − (−3)) = −2/5 = −0,4.
Ответ: −0,4.

Функция f(x) убывает на промежутках, где её производная отрицательна.
Выбираем отмеченные точки, в которых график y = f′(x) расположен ниже оси абсцисс.
Это точки x₁, x₂, x₅, x₇, x₈ и x₉ — всего 6 точек.
Ответ: 6.

Область определения: x > 7.
Найдём производную: y′ = 1/(x − 7) − 2.
Решим уравнение y′ = 0: 1/(x − 7) = 2, откуда x = 7,5.
При 7 < x < 7,5 производная положительна, а при x > 7,5 — отрицательна.
Функция сначала возрастает, затем убывает, поэтому x = 7,5 — точка максимума.
Ответ: 7,5.

Точка максимума функции определяется сменой знака производной с плюса на минус.
На графике y = f′(x) это пересечение оси абсцисс сверху вниз.
На отрезке [−11; 5] таких пересечений четыре.
Следовательно, на указанном отрезке функция f(x) имеет четыре точки максимума.
Ответ: 4.

Производная f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной.
По рисунку касательная проходит через точки (−4; −2) и (1; 7).
Её угловой коэффициент: k = (7 − (−2))/(1 − (−4)) = 9/5 = 1,8.
Ответ: 1,8.

Область определения: x ≥ 0. Запишем функцию: y = x√x − 3x + 9.
При x > 0 производная равна y′ = (3/2)√x − 3.
Решим уравнение y′ = 0: √x = 2, откуда x = 4.
При 0 < x < 4 производная отрицательна, а при x > 4 — положительна.
Функция сначала убывает, затем возрастает, поэтому x = 4 — точка минимума.
Ответ: 4.

Производная f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной.
По рисунку касательная проходит через точки (3; 1) и (8; 8).
Её угловой коэффициент: k = (8 − 1)/(8 − 3) = 7/5 = 1,4.
Ответ: 1,4.

На отрезке [−4,5; 0] выполняется x + 5 > 0, поэтому y = 9x − 9ln(x + 5).

Найдём производную: y′ = 9 − 9/(x + 5) = 9(x + 4)/(x + 5).

Производная отрицательна при −4,5 < x < −4 и положительна при −4 < x < 0.

Следовательно, функция убывает до x = −4, затем возрастает; наименьшее значение на отрезке достигается при x = −4.

y(−4) = −36 − 9ln 1 = −36.

Ответ: −36.

На отрезке [−8,5; 0] выполняется x + 9 > 0, поэтому y = 5ln(x + 9) − 5x.

Найдём производную: y′ = 5/(x + 9) − 5 = −5(x + 8)/(x + 9).

Производная положительна при −8,5 < x < −8 и отрицательна при −8 < x < 0.

Следовательно, функция возрастает до x = −8, затем убывает; наибольшее значение на отрезке достигается при x = −8.

y(−8) = 5ln 1 + 40 = 40.

Ответ: 40.

Область определения: x > 5. Точку минимума найдём по смене знака производной с минуса на плюс.

y′ = 10 − 1/(x − 5) = (10x − 51)/(x − 5).

y′ = 0 при 10x − 51 = 0, откуда x = 5,1.

При 5 < x < 5,1 производная отрицательна, а при x > 5,1 положительна.

Значит, функция убывает до x = 5,1 и возрастает после этой точки, поэтому это точка минимума.

Ответ: 5,1.

Функция непрерывна на [0; 21]. Исследуем её монотонность с помощью производной.

При x > 0: y′ = 6 − 4(√x + x/(2√x)) = 6 − 6√x.

y′ = 0 при x = 1; при 0 < x < 1 производная положительна, при 1 < x < 21 отрицательна.

Поэтому функция возрастает на [0; 1] и убывает на [1; 21]; максимум достигается при x = 1.

y(1) = 11 + 6 − 4 = 13.

Ответ: 13.

Найдём производную функции: y′ = −2sin x + 5.

Так как sin x ≤ 1, то y′ ≥ 5 − 2 = 3 > 0.

Следовательно, функция возрастает на всём отрезке [0; 3π/2] и принимает наименьшее значение в его левом конце.

y(0) = 2cos 0 + 5 · 0 + 7 = 2 + 7 = 9.

Ответ: 9.

Найдём производную: y′ = −12 sin x + 45/π.

На отрезке [−2π/3; 0] sin x ≤ 0, поэтому y′ > 0.

Функция возрастает, значит, наименьшее значение достигается при x = −2π/3.

y(−2π/3) = 12 · (−1/2) − 30 − 4 = −40.

Ответ: −40.

Значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику.

В точках −2 и −1 график возрастает, поэтому производная положительна.

В точке 3 наклон графика небольшой, а в точке 4 график резко убывает: касательная имеет наибольший наклон вниз среди указанных точек.

Следовательно, наименьшее значение производной достигается в точке 4.

Ответ: 4.

Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = Δy/Δx.

По клеткам на касательной: при увеличении x на 4 значение y уменьшается на 5.

Следовательно, f′(x₀) = −5/4 = −1,25.

Ответ: −1,25.

По правилу производной произведения: y′ = e^(x − 5) + (x + 5)e^(x − 5) = (x + 6)e^(x − 5).

Поскольку e^(x − 5) > 0 при любом x, знак производной совпадает со знаком x + 6.

При x < −6 производная отрицательна, а при x > −6 положительна.

Функция переходит от убывания к возрастанию, поэтому x = −6 — точка минимума.

Ответ: −6.

Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = Δy/Δx.

По клеткам на касательной: при увеличении x на 1 значение y уменьшается на 3.

Следовательно, f′(x₀) = −3/1 = −3.

Ответ: −3.

Точка максимума функции — точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

График y = f′(x) пересекает ось абсцисс при x = 2.

Слева от этой точки f′(x) > 0, справа f′(x) < 0: функция сначала возрастает, затем убывает.

Ответ: 2.

Значение производной f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной.

На касательной отмечены точки с координатами (−6; −2) и (−1; 5).

Поэтому f′(x₀) = (5 − (−2))/(−1 − (−6)) = 7/5 = 1,4.

Ответ: 1,4.