Производная и исследование функций · 127 заданий ФИПИ с ответами
На рисунке изображён график производной функции
На оси абсцисс отмечено восемь точек: Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции
Функция f(x) убывает на промежутках, где её производная отрицательна.
На таких промежутках график y = f′(x) расположен ниже оси абсцисс.
Из отмеченных точек этому условию удовлетворяют x₂, x₄, x₆ и x₈. Всего их четыре.
Ответ: 4.
Найдите точку максимума функции
Область определения функции: x ≥ 0. При x > 0 производная равна y′ = 27 − 3√x/2.
Решим уравнение y′ = 0: √x = 18, откуда x = 324.
При 0 < x < 324 производная положительна, а при x > 324 отрицательна.
Следовательно, функция возрастает до x = 324 и убывает после этой точки, поэтому это точка максимума.
Ответ: 324.
На рисунке изображён график производной функции определённой на интервале В какой точке отрезка
функция принимает наименьшее значение?
Чтобы определить монотонность функции f(x), рассмотрим знак её производной.
На интервале (−5; −2) график y = f′(x) расположен выше оси абсцисс, поэтому f′(x) > 0.
Следовательно, f(x) возрастает на отрезке [−5; −2] и принимает наименьшее значение на его левом конце.
Ответ: −5.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему
в точке с абсциссой Найдите значение производной функции
в точке
Производная f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной.
На касательной отмечены точки (−3; −2) и (1; −7).
Поэтому f′(x₀) = (−7 − (−2))/(1 − (−3)) = −5/4 = −1,25.
Ответ: −1,25.
Найдите точку максимума функции .
Применим правило производной произведения: y′ = −e^(x + 4) + (4 − x)e^(x + 4).
Вынося общий множитель, получаем y′ = (3 − x)e^(x + 4).
Поскольку e^(x + 4) > 0, знак производной определяется выражением 3 − x.
При x < 3 производная положительна, при x > 3 — отрицательна.
Функция возрастает до x = 3 и убывает после, поэтому это точка максимума.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки , 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее?
В ответе укажите эту точку.
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику.
В точке x = −1 график возрастает наиболее круто, поэтому производная положительна.
В точках x = 2 и x = 3 график убывает, поэтому производные отрицательны.
При x = 4 график возрастает, но наклон касательной меньше, чем при x = −1.
Следовательно, наибольшее значение производной достигается среди указанных точек при x = −1.
Ответ: −1.
Найдите точку минимума функции
Найдём производную: y′ = 3x² − 28x + 49.
Решим уравнение y′ = 0: D = 28² − 4 · 3 · 49 = 196, x = (28 ± 14)/6.
Получаем корни x = 7/3 и x = 7; поэтому y′ = 3(x − 7/3)(x − 7).
Производная положительна при x < 7/3 и x > 7, отрицательна при 7/3 < x < 7.
В точке x = 7 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
Ответ: 7.
На рисунке изображён график — производной функции На оси абсцисс отмечено девять точек: Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции ?
Функция f(x) убывает на промежутках, где f′(x) < 0.
На рисунке дан график производной: отрицательным значениям соответствуют участки ниже оси абсцисс.
Из отмеченных точек на таких участках расположены только x₆ и x₇.
Следовательно, промежуткам убывания принадлежат две отмеченные точки.
Ответ: 2.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему
в точке с абсциссой Найдите значение производной функции
в точке
Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
На касательной отмечены точки (−3; −3) и (2; 5).
Следовательно, f′(x₀) = (5 − (−3))/(2 − (−3)) = 8/5 = 1,6.
Ответ: 1,6.
Найдите точку минимума функции
Найдём производную: y′ = 3x² − 36x + 81 = 3(x − 3)(x − 9).
Критические точки: x = 3 и x = 9.
При x < 3 производная положительна, при 3 < x < 9 отрицательна, при x > 9 положительна.
В точке x = 9 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.
Ответ: 9.
Найдите точку минимума функции
Найдём производную: y′ = 3x² − 54x = 3x(x − 18).
Критические точки: x = 0 и x = 18.
При x < 0 производная положительна, при 0 < x < 18 отрицательна, при x > 18 положительна.
В точке x = 18 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.
Ответ: 18.
Найдите точку максимума функции
Найдём производную: y′ = 3x² − 27 = 3(x − 3)(x + 3).
Критические точки: x = −3 и x = 3.
При x < −3 производная положительна, при −3 < x < 3 отрицательна, при x > 3 положительна.
В точке x = −3 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому это точка максимума.
Ответ: −3.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему
в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции
в точке .
Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
На касательной отмечены точки (−1; −1) и (3; 5).
Следовательно, f′(x₀) = (5 − (−1))/(3 − (−1)) = 6/4 = 1,5.
Ответ: 1,5.
Найдите точку максимума функции
В точке максимума производная меняет знак с плюса на минус.
y′ = 3x² + 28x + 49 = (x + 7)(3x + 7).
Производная равна нулю при x = −7 и x = −7/3.
При x < −7 производная положительна, а при −7 < x < −7/3 отрицательна.
Поэтому x = −7 — точка максимума функции.
Ответ: −7.
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечено восемь точек: , , , , , , , . В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции положительна.
Производная положительна в тех точках, где график функции имеет положительный наклон: функция возрастает.
На рисунке это точки x₁, x₃, x₄, x₅ и x₈.
В точках x₂, x₆ и x₇ график идёт вниз, поэтому производная отрицательна.
Всего подходящих точек пять.
Ответ: 5.
Найдите точку максимума функции
Область определения: x > 0. В точке максимума производная меняет знак с плюса на минус.
y′ = 7x − 29 + 30/x = (7x² − 29x + 30)/x.
y′ = (x − 2)(7x − 15)/x; нули производной: 2 и 15/7.
Поскольку x > 0, производная положительна на (0; 2), отрицательна на (2; 15/7) и положительна на (15/7; +∞).
При x = 2 функция переходит от возрастания к убыванию, значит, это точка максимума.
Ответ: 2.
На рисунке изображён график производной функции
На оси абсцисс отмечено десять точек: , , , , , , , , , . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции 
Функция f(x) возрастает на промежутках, где f′(x) > 0.
На рисунке дан график производной, поэтому выбираем отмеченные точки, в которых он расположен выше оси абсцисс.
Это точки x₂, x₃, x₅, x₆, x₉ и x₁₀.
Таких точек шесть.
Ответ: 6.
Найдите точку максимума функции
В точке максимума производная меняет знак с плюса на минус.
y′ = 3x² − 108 = 3(x − 6)(x + 6).
Нули производной: x = −6 и x = 6.
На (−∞; −6) производная положительна, на (−6; 6) отрицательна, на (6; +∞) положительна.
При x = −6 функция переходит от возрастания к убыванию, значит, это точка максимума.
Ответ: −6.
Найдите точку максимума функции .
Область определения: x > 0. Найдём производную:
y′ = x − 21 + 110/x = (x − 10)(x − 11)/x.
Критические точки: x = 10 и x = 11.
При 0 < x < 10 производная положительна, при 10 < x < 11 — отрицательна, при x > 11 — положительна.
В точке x = 10 функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому это точка максимума.
Ответ: 10.
Найдите точку минимума функции
Найдём производную: y′ = 3x² − 192 = 3(x − 8)(x + 8).
Критические точки: x = −8 и x = 8.
При x < −8 и x > 8 производная положительна, при −8 < x < 8 — отрицательна.
В точке x = 8 производная меняет знак с минуса на плюс: функция переходит от убывания к возрастанию.
Следовательно, точка минимума равна 8.
Ответ: 8.
