Производная и исследование функций · 127 заданий ФИПИ с ответами
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке .
Используем производную косинуса: y′ = −10 sin x − 14.
Поскольку −1 ≤ sin x ≤ 1, получаем y′ ≤ 10 − 14 = −4 < 0.
Функция убывает на всём заданном отрезке, поэтому наименьшее значение достигается на его правом конце, при x = 0.
y(0) = 10 cos 0 − 14 · 0 + 5 = 10 + 5 = 15.
Ответ: 15.
Найдите точку минимума функции
Область определения: x ≥ 0. При x > 0 по правилу производной произведения y′ = √x + x/(2√x) − 3.
Следовательно, y′ = 3√x/2 − 3. Уравнение y′ = 0 даёт √x = 2, откуда x = 4.
При 0 < x < 4 производная отрицательна, при x > 4 положительна.
Функция непрерывна при x = 0, убывает на [0; 4] и возрастает на [4; +∞), поэтому точка минимума — x = 4.
Ответ: 4.
Найдите точку максимума функции .
Область определения: (x + 3)⁷ > 0, то есть x > −3. Тогда ln((x + 3)⁷) = 7 ln(x + 3).
По правилу производной логарифма y′ = 7/(x + 3) − 7 = −7(x + 2)/(x + 3).
На области определения знаменатель положителен. Поэтому y′ > 0 при −3 < x < −2 и y′ < 0 при x > −2.
В точке x = −2 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому это точка максимума.
Ответ: −2.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
На рисунке изображён график функции На оси абсцисс отмечено восемь точек: , , , , , , , . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции положительна.
Производная f′(x) положительна в точках, где график функции имеет положительный наклон: функция возрастает.
Среди отмеченных точек график возрастает в точках x₆ и x₈.
В остальных шести отмеченных точках график убывает, поэтому производная отрицательна.
Ответ: 2.
Найдите точку максимума функции
Найдём производную: y′ = 3x² + 54x = 3x(x + 18).
Критические точки: 3x(x + 18) = 0, откуда x = −18 или x = 0.
На интервалах (−∞; −18), (−18; 0), (0; +∞) производная имеет знаки соответственно «+», «−», «+».
В точке x = −18 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому это точка максимума.
Ответ: −18.
Найдите точку максимума функции
Область определения: x ≥ 0. Запишем функцию как y = 17 + 27x − 2x√x.
При x > 0 производная равна y′ = 27 − 3√x.
Решим уравнение y′ = 0: √x = 9, откуда x = 81.
При 0 < x < 81 производная положительна, а при x > 81 отрицательна. Функция непрерывна при x = 0, поэтому возрастает на [0; 81] и убывает на [81; +∞).
Следовательно, точка максимума функции — x = 81.
Ответ: 81.
На рисунке изображён график производной функции определённой на интервале Найдите количество точек максимума функции принадлежащих отрезку
Точка максимума функции f(x) определяется сменой знака производной f′(x) с плюса на минус.
На графике производной этому соответствует переход через ось абсцисс сверху вниз.
Среди точек отрезка [−6; 11] таких переходов пять. Переходы снизу вверх соответствуют точкам минимума и не учитываются.
Ответ: 5.
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
На данном отрезке x > 0, поэтому функция определена. Её производная: y′ = 1/x − 8 = (1 − 8x)/x.
Производная равна нулю при x = 1/8; эта точка принадлежит отрезку [1/16; 5/16].
При x < 1/8 производная положительна, а при x > 1/8 отрицательна. Следовательно, наибольшее значение на отрезке достигается при x = 1/8.
Вычислим: y(1/8) = ln 1 − 1 + 7 = 6.
Ответ: 6.
Найдите точку максимума функции
Область определения: x ≥ 0. Точку максимума найдём по смене знака производной с плюса на минус.
y′ = 9 − (3/2)√x.
y′ = 0 при √x = 6, то есть x = 36.
При 0 < x < 36 производная положительна, при x > 36 — отрицательна.
Функция возрастает до x = 36 и убывает после, поэтому это точка максимума.
Ответ: 36.
Найдите точку максимума функции
Точку максимума найдём по смене знака производной с плюса на минус.
y′ = 3x² + 20x + 25 = (x + 5)(3x + 5).
Производная равна нулю при x = −5 и x = −5/3.
На интервалах (−∞; −5), (−5; −5/3), (−5/3; +∞) знаки производной соответственно: плюс, минус, плюс.
При x = −5 функция переходит от возрастания к убыванию, значит, это точка максимума.
Ответ: −5.
Найдите точку минимума функции .
Применим правило производной произведения и правило производной сложной функции.
y′ = −e^(7 − x) − (7 − x)e^(7 − x) = (x − 8)e^(7 − x).
Поскольку e^(7 − x) > 0 при любом x, знак производной совпадает со знаком x − 8.
При x < 8 функция убывает, при x > 8 — возрастает.
В точке x = 8 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.
Ответ: 8.
На рисунке изображён график производной функции определённой на интервале Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку
Точка минимума функции соответствует смене знака f′(x) с минуса на плюс.
На отрезке [−2; 6] график производной пересекает ось абсцисс снизу вверх один раз — при x = 3.
При x = −1 и x = 5 производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует точкам максимума.
Следовательно, отрезку [−2; 6] принадлежит одна точка минимума функции f(x).
Ответ: 1.
Найдите точку минимума функции .
Область определения: x ≥ 0. Точку минимума найдём по смене знака производной с минуса на плюс.
y′ = (3/2)√x − 18.
y′ = 0 при √x = 12, то есть x = 144.
При 0 < x < 144 производная отрицательна, при x > 144 — положительна.
Функция убывает до x = 144 и возрастает после, поэтому это точка минимума.
Ответ: 144.
Найдите точку максимума функции
Применим правило производной произведения: y′ = e^(12 − x) − (x + 8)e^(12 − x).
Получаем y′ = (−x − 7)e^(12 − x). Поскольку e^(12 − x) > 0, знак производной совпадает со знаком −x − 7.
При x < −7 производная положительна, а при x > −7 отрицательна.
Функция сначала возрастает, затем убывает, поэтому x = −7 — точка максимума.
Ответ: −7.
Найдите точку минимума функции
Область определения: x > 0. Найдём производную: y′ = 2x − 20 + 48/x.
Разложим на множители: y′ = 2(x² − 10x + 24)/x = 2(x − 4)(x − 6)/x.
При x > 0 знаменатель положителен. Производная положительна на (0; 4), отрицательна на (4; 6) и положительна на (6; +∞).
В точке x = 6 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.
Ответ: 6.
Найдите точку максимума функции
Область определения: x ≥ 0. Для x > 0 производная равна y′ = 18 − (3/2)√x.
Найдём стационарную точку: 18 − (3/2)√x = 0, откуда √x = 12 и x = 144.
При 0 < x < 144 производная положительна, при x > 144 — отрицательна.
Функция возрастает до x = 144 и затем убывает, поэтому это точка максимума.
Ответ: 144.
Найдите точку минимума функции .
Область определения: x > 0. Найдём производную: y′ = 2x − 28 + 96/x.
Разложим на множители: y′ = 2(x² − 14x + 48)/x = 2(x − 6)(x − 8)/x.
При x > 0 производная положительна на (0; 6), отрицательна на (6; 8) и положительна на (8; +∞).
При переходе через x = 8 знак производной меняется с минуса на плюс. Следовательно, x = 8 — точка минимума.
Ответ: 8.
На рисунке изображён график производной функции определённой на интервале Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку
Точке минимума функции f(x) соответствует смена знака производной f′(x) с минуса на плюс.
На графике производной это пересечение оси Ox снизу вверх.
На отрезке [−4; 9] таких пересечений четыре: одно между −3 и −2, одно при x = 0, одно между 5 и 6 и одно между 8 и 9.
Следовательно, на указанном отрезке функция f(x) имеет четыре точки минимума.
Ответ: 4.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему
в точке с абсциссой Найдите значение производной функции
в точке
Значение производной f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной.
На касательной отмечены точки с координатами (−3; 5) и (5; 3).
Поэтому f′(x₀) = (3 − 5)/(5 − (−3)) = −2/8 = −0,25.
Ответ: −0,25.
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
Найдём производную: y′ = 10cos x − 42/π.
Так как cos x ≤ 1, то y′ ≤ 10 − 42/π < 0.
Функция убывает на всём заданном отрезке, поэтому наибольшее значение достигается при x = −5π/6.
y(−5π/6) = 10 · (−1/2) + 35 − 12 = 18.
Ответ: 18.
