Задача на смекалку · 319 заданий ФИПИ с ответами
На поверхности глобуса фломастером проведены 16 параллелей
и 19 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
Меридианы сходятся в полюсах, поэтому 19 меридианов делят поверхность на 19 секторов. Между полюсами 16 параллелей образуют 17 полос. Получаем 19 · 17 = 323 части.
Ответ: 323.
В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
Если груздей не меньше 28, можно выбрать 28 груздей, и среди этих грибов не окажется рыжика. Это противоречит условию, значит, груздей не больше 27. Если рыжиков не меньше 24, можно выбрать 24 рыжика без груздей; следовательно, рыжиков не больше 23. Всего грибов 50, поэтому груздей не меньше 50 − 23 = 27. Вместе с верхней границей это даёт ровно 27 груздей. Ответ: 27.
Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?
Проверяется умение посчитать число попарных соединений без двойного счёта.
От восьми столбов отходит всего 8 · 7 = 56 концов проводов.
У каждого провода два конца, поэтому проводов 56 : 2 = 28.
Ответ: 28.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б 70 км, между А и В 60 км, между В и Г 35 км, между Г и А 45 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).
Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 8 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 50 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Пусть x — число верных ответов, а y — число ошибок. Тогда 5x − 8y = 50, где y ≥ 1 и x + y ≤ 25.
По модулю 5 число 8y должно делиться на 5, значит, y кратно 5. Если y = 5, получаем x = 18; при y ≥ 10 уже требуется больше 25 ответов вместе с ошибками.
Значит, верных ответов было 18.
Ответ: 18.
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 137, во втором 160, в третьем 185, а сумма чисел в каждой строке больше 24, но меньше 27. Сколько всего строк в таблице?
Сумма всех чисел в таблице равна 137 + 160 + 185 = 482. Сумма в каждой строке — натуральное число строго между 24 и 27, значит, она равна 25 или 26. При 18 строках наибольшая возможная сумма равна 18 · 26 = 468, а при 20 строках наименьшая — 20 · 25 = 500. Для 19 строк сумма 482 возможна: 7 строк дают по 25, а 12 строк — по 26, и 7 · 25 + 12 · 26 = 482. Ответ: 19.
Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 35 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Задание проверяет составление уравнения по условию и делимость. Пусть верных ответов было x, ошибок — y; тогда 5x − 12y = 35, причём y ≥ 1. По модулю 5 получаем 3y ≡ 0, поэтому y кратно 5. При y = 5 имеем 5x = 95, откуда x = 19; остальные вопросы могли остаться без ответа.
Ответ: 19.
Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 14 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал участник, набравший 207 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Задание проверяет составление уравнения по условию и перебор целых решений. Пусть верных ответов было x, ошибочных — y; тогда 9x − 14y = 207, причём y ≥ 1 и x + y ≤ 50. По модулю 14 получаем 9x ≡ 207, то есть x ≡ 9 (mod 14). Подходящие значения x: 9, 23, 37; для них y равен −9, 0, 3 соответственно. Значит, при ошибках подходит x = 37, y = 3. Ответ: 37
Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с двумя. Сколько всего было подписано договоров?
Задание проверяет умение считать договоры, учитывая, что каждый договор упомянут у двух стран.
Сумма числа договоров, заключённых каждой страной, равна 4 · 5 + 6 · 2 = 32.
Каждый договор посчитан дважды, поэтому всего подписали 32 : 2 = 16 договоров.
Ответ: 16.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего
и далее по часовой стрелке, равны 17, 15 и 18. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Задача на смекалку и логику: обозначим ширины левого и правого столбцов прямоугольников через a и b, а высоты верхнего и нижнего рядов через c и d.
Периметры на рисунке дают 2(a + c) = 17, 2(b + c) = 15 и 2(b + d) = 18. Для нижнего левого прямоугольника периметр равен 2(a + d).
Складывая первый и третий периметры и вычитая второй, получаем 17 + 18 − 15 = 20.
Ответ: 20.
Список заданий викторины состоял из 65 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 153 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся и по крайней мере на 1 вопрос не дал ответа?
Задача проверяет составление уравнения по числу правильных, неправильных и пропущенных ответов.
Пусть правильных ответов x, неправильных y, пропусков z. Тогда x + y + z = 65, а 9x − 17y = 153. При x = 34 получаем 306 − 17y = 153, значит y = 9; тогда z = 65 − 34 − 9 = 22.
Оба числа y и z положительны, как и требуется.
Ответ: 34.
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым 8 кусков, а если по зелёным 14 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Задание проверяет логику подсчёта линий и кусков. Чтобы получить 7 кусков, нужно 6 распилов; для 8 кусков — 7 распилов, для 14 — 13. Всего линий 6 + 7 + 13 = 26, значит, получится 26 + 1 = 27 кусков. Ответ: 27.
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами 294, номер первой страницы после выпавших листов записывается этими же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?
Задание проверяет логику и перебор перестановок цифр. Первая страница после пропуска должна быть числом из цифр 2, 9 и 4 больше 294; подходящий номер — 429. Выпали страницы с 295 по 428, всего 428 − 295 + 1 = 134 страницы, то есть 134 / 2 = 67 листов. Ответ: 67.
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если
по жёлтым 7 кусков, а если по зелёным 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Проверяется логика: число кусков на единицу больше числа распилов.
Для красных, жёлтых и зелёных линий распилов соответственно 9 − 1 = 8, 7 − 1 = 6 и 6 − 1 = 5. Всего 8 + 6 + 5 = 19 распилов, значит, получится 19 + 1 = 20 кусков.
Ответ: 20.
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 85, во втором 77, в третьем 71, а сумма чисел в каждой строке была больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в таблице?
Задание проверяет перебор и оценку суммы по ограничениям. Сумма чисел в таблице равна 85 + 77 + 71 = 233. Сумма каждой строки — целое число от 13 до 14, поэтому для n строк 13n ≤ 233 ≤ 14n. Отсюда n может быть 17 или 18, но 18 строк потребовали бы сумму не меньше 18 · 13 = 234. Ответ: 17.
Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?
Проверяется подсчёт договоров: каждый договор учитывается у обеих подписавших его стран.
Всего указано 4 × 3 + 6 × 5 = 42 упоминания договоров. Каждый договор упомянут дважды, поэтому договоров 42 ÷ 2 = 21.
Ответ: 21.
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному
из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 2007. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым
по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 до 5;
а 2,8 до 3.)
Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?
Это задача на логику: улитка не сползает ночью, если днём уже достигла вершины. За полный день и ночь она поднимается на 3 − 2 = 1 м.
После 7 ночей улитка окажется на высоте 7 м. На 8-й день она проползёт ещё 3 м и достигнет высоты 10 м.
Ответ: 8.
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному
из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 1338. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым
по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 до 5;
а 2,8 до 3.)
В доме всего четырнадцать квартир, их номера от 1 до 14. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах
с 1-й по 10-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах
с 7-й по 14-ю включительно живёт суммарно 18 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?
