В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному
из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 4707. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым
по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 до 5;
а 2,8 до 3.)
Задание 21 ЕГЭ по базовой математике
Задача на смекалку · 319 заданий ФИПИ с ответами
На поверхности глобуса фломастером проведены 23 параллели
и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
Задание проверяет логику подсчёта частей, на которые линии делят поверхность.
Меридианы соединяют полюса и делят глобус на 15 двуугольных областей. Каждая из 23 параллелей пересекает все меридианы и добавляет 15 частей.
Всего получается 15 + 23 · 15 = 15 · (23 + 1) = 360 частей. Ответ: 360.
Маша и Медведь съели 51 печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Клетки таблицы раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 30 пар соседних клеток разного цвета и 16 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
Проверяется подсчёт соседних пар клеток и учёт того, что каждая пара состоит из двух клеток одного цвета или разных цветов.
В таблице 6 × 6 всего соседних пар по горизонтали 6 × 5 = 30, и столько же по вертикали. Всего 60 пар; 30 пар разного цвета и 16 чёрных пар, значит белых пар 60 − 30 − 16 = 14.
Ответ: 14.
Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?
Здесь важно учитывать, что улитка достигает вершины днём и после этого уже не сползает.
За полный цикл «день и ночь» она поднимается на 2 − 1 = 1 м.
После восьми ночей улитка окажется на высоте 8 м, а за девятый день проползёт ещё 2 м и достигнет вершины высотой 10 м.
Ответ: 9.
Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 9 партий, а Коля 19. Сколько партий сыграл Лёша?
Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 14 м. За какое наименьшее количество дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?
За каждый полный день и ночь улитка поднимается на 4 − 2 = 2 м. После пяти ночей она окажется на высоте 10 м. На шестой день ей достаточно проползти ещё 4 м до вершины, после чего спускаться она уже не будет.
Ответ: 6.
Маша и Медведь съели 140 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей
и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному
из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 8825. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым
по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 до 5;
а 2,8 до 3.)
Произведение пяти отметок равно 8825 = 5² × 353. Каждая отметка — число от 2 до 5, поэтому единственное разложение на пять таких множителей: 5, 5, 5, 5 и 2. Их среднее арифметическое равно (4 × 5 + 2) / 5 = 4,4; при округлении до целого получается 4.
Ответ: 4.
В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых
12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Тема: задача на логику и оценку количества.
Если груздей было бы 12 или больше, можно было бы выбрать 12 грибов без рыжика. Значит, груздей не больше 11.
Если рыжиков было бы 20 или больше, можно было бы выбрать 20 грибов без груздя. Значит, рыжиков не больше 19.
Всего грибов 30, поэтому рыжиков не меньше 30 − 11 = 19. Следовательно, рыжиков ровно 19. Ответ: 19.
На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 20 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 50 см длиннее другой. Найдите расстояние
(в сантиметрах) между красной и синей полосками.
Задача на смекалку и преобразование выражений. Разница длин частей равна удвоенному расстоянию от середины ленты до места разреза.
Красная полоска расположена на 20 : 2 = 10 см от середины, синяя — на 50 : 2 = 25 см. Поскольку полоски по разные стороны от середины, расстояние между ними равно 10 + 25 = 35 см.
Ответ: 35.
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении
на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой,
в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 7 прыжков?
Задача на логику и перебор: после каждого прыжка координата меняется на 1 или на −1.
За 7 прыжков возможны координаты от −7 до 7, но из-за нечётного числа прыжков попасть можно только в нечётные целые числа.
Это −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7 — всего 8 точек.
Ответ: 8.
В классе 27 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками,
а каждая девочка с пятью мальчиками. Сколько мальчиков учится в этом классе?
Задание проверяет подсчёт дружеских пар с двух сторон.
Пусть мальчиков m, тогда девочек 27 − m. Считаем пары «мальчик — девочка»: со стороны мальчиков их 4m, а со стороны девочек — 5(27 − m).
Это один и тот же набор пар, значит, 4m = 5(27 − m). Отсюда 9m = 135 и m = 15.
Ответ: 15.
Из десяти стран три подписали двусторонний договор о дружбе ровно
с шестью другими странами, а каждая из оставшихся семи ровно с двумя. Сколько всего было подписано договоров?
Задание проверяет подсчёт договоров по числу участников с каждой стороны.
Считаем для каждой страны число подписанных ею договоров: три страны дали 3 · 6 = 18 учётов, остальные семь — 7 · 2 = 14. Всего получилось 18 + 14 = 32 учёта.
Каждый двусторонний договор посчитан дважды — по одному разу для каждой страны. Поэтому договоров было 32/2 = 16.
Ответ: 16.
В классе 28 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками,
а каждая девочка с тремя мальчиками. Сколько мальчиков учится в этом классе?
Задача на логику: одну и ту же дружбу можно посчитать со стороны мальчиков и со стороны девочек. Если мальчиков m, то девочек 28 − m.
Число пар друзей равно 4m и одновременно 3(28 − m). Поэтому 4m = 3(28 − m), откуда 7m = 84 и m = 12.
Ответ: 12.
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если
по жёлтым 7 кусков, а если по зелёным 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Задача на логику и подсчёт: каждый распил увеличивает число кусков на 1.
По красным линиям получается 5 кусков, значит, красных линий 4. Жёлтых линий 6, зелёных — 10.
Всего линий 4 + 6 + 10 = 20, поэтому получится 20 + 1 = 21 кусок.
Ответ: 21.
На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей
и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
Задание на логику и подсчёт частей поверхности. 12 параллелей делят поверхность шара на 13 кольцевых полос: между соседними параллелями и у полюсов.
15 меридианов делят каждую полосу на 15 частей. Поэтому всего 13 · 15 = 195 частей.
Ответ: 195.
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 4 прыжка?
За один прыжок координата меняется на 1 или на −1.
После четырёх прыжков возможны координаты −4, −2, 0, 2 и 4: за чётное число прыжков кузнечик оказывается в точке с чётной координатой, а расстояние от начала не превышает 4.
Получается 5 различных точек.
Ответ: 5.
В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых
23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Чтобы среди любых 23 грибов обязательно был рыжик, груздей должно быть не больше 22: иначе можно выбрать 23 груздя.
Чтобы среди любых 24 грибов обязательно был груздь, рыжиков должно быть не больше 23: иначе можно выбрать 24 рыжика.
Всего грибов 45, поэтому рыжиков не меньше 45 − 22 = 23. Значит, рыжиков ровно 23.
Ответ: 23.