Задача на смекалку · 319 заданий ФИПИ с ответами
В доме всего десять квартир, их номера от 1 до 10. В каждой
квартире живёт не меньше одного и не больше четырёх человек. В квартирах
с 1-й по 6-ю включительно живёт суммарно 9 человек, а в квартирах
с 4-й по 10-ю включительно живёт суммарно 22 человека. Сколько всего человек живёт в этом доме?
Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали
11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Задача проверяет составление уравнения по числу правильных и неправильных ответов. Пусть правильных ответов x, а неправильных y; тогда 7x − 11y = 84, причём y ≥ 1, а x + y ≤ 33. Из уравнения по модулю 11 получаем 7x ≡ 84 ≡ 7, значит x ≡ 1 (mod 11). Подходящие значения x с учётом условий — 12 и 23; для x = 12 получается y = 0, что запрещено, поэтому x = 23. Ответ: 23.
На ленте по разные стороны от середины отмечены тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 50 см длиннее другой. Найдите расстояние
(в сантиметрах) между красной и синей полосками.
Задание проверяет связь между разностью длин частей ленты и расстоянием от середины до места разреза.
Разность частей вдвое больше расстояния от середины до полоски. Поэтому красная полоска находится в 30/2 = 15 см от середины, а синяя — в 50/2 = 25 см.
Полоски по разные стороны от середины, поэтому расстояние между ними равно 15 + 25 = 40 см.
Ответ: 40.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева,
начав путь от его основания?
После первого дня улитка поднимается на 4 м, а после ночи оказывается на высоте 1 м. Каждый следующий полный день и ночь прибавляет 1 м. В начале седьмого дня она находится на высоте 6 м и за день доползает до 10 м; после достижения вершины спускаться ночью ей не нужно. Ответ: 7.
Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?
Каждый провод соединяет пару столбов, поэтому при подсчёте от каждого столба мы учитываем каждый провод дважды. Всего учтено 10 × 7 = 70 концов проводов. Значит, проводов 70 : 2 = 35. Ответ: 35.
На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей
и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
Задание проверяет логику и подсчёт частей. Каждый из 20 меридианов пересекает все 15 параллелей, значит, всего точек пересечения 20 · 15 = 300.
Меридианы делят поверхность на 20 долей, а 15 параллелей в каждой доле добавляют по 15 частей. Поэтому всего 20 · (15 + 1) = 320 частей. Ответ: 320.
На поверхности глобуса фломастером проведены 21 параллель
и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
Задание проверяет логику и подсчёт частей. Каждая параллель пересекает каждый меридиан, поэтому на каждой из 21 параллели поверхность делится на 15 дуг. Получаем 21 · 15 = 315 точек пересечения.
Меридианы сначала делят поверхность на 15 долей от полюса до полюса, а параллели добавляют по одной новой части каждая в каждом из этих промежутков. Всего частей: 15 · (21 + 1) = 330. Ответ: 330.
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: синяя, белая и фиолетовая. Слева от фиолетовой вазы 21 роза, справа от белой вазы 12 роз. Всего в вазах 26 роз. Сколько роз в синей вазе?
Задание проверяет логику и внимательное чтение условия. Розы слева от фиолетовой — это розы в синей и белой вазах, вместе 21. Справа от белой — розы в фиолетовой и синей вазах, вместе 12. В этих двух суммах синяя ваза учтена дважды, а всего роз 26, поэтому в синей вазе 21 + 12 − 26 = 7 роз.
Ответ: 7.
Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали
11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Тема: задача на перебор целых чисел. Обозначим число верных ответов через x, а число ошибок через y. По условию 7x − 11y = 84, причём y ≥ 1, а всего вопросов 33.
По модулю 7 получаем 4y ≡ 0 (mod 7), значит, y делится на 7. Так как 1 ≤ y ≤ 33, проверяем y = 7, 14, 21, 28: только при y = 7 выходит целое x = (84 + 11 · 7) / 7 = 23. Это укладывается в 33 вопроса.
Ответ: 23.
Клетки таблицы раскрашены в чёрный и белый цвета так,
что получилось 14 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько получилось пар соседних клеток белого цвета?
Задание проверяет умение считать пары соседних клеток на сетке. Всего пар по горизонтали и вертикали: 5 · 4 + 5 · 4 = 40. Из них 14 пар разного цвета и 11 пар чёрного цвета, поэтому пар белого цвета: 40 − 14 − 11 = 15.
Ответ: 15.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего
и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Задание проверяет связь периметров частей прямоугольника. По рисунку разрезы параллельны сторонам, поэтому сумма периметров в одной паре противоположных частей равна сумме периметров в другой: внутренние линии разрезов учитываются поровну.
Периметр нижнего левого прямоугольника равен 12 + 16 − 15 = 13.
Ответ: 13.
Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 8. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 3?
Задание проверяет умение выразить изменение произведения через множители.
Пусть множители равны a и b. При увеличении каждого на 1 произведение меняется на (a + 1)(b + 1) − ab = a + b + 1 = 8, поэтому a + b = 7.
При увеличении каждого на 3 прирост равен (a + 3)(b + 3) − ab = 3a + 3b + 9 = 3 · 7 + 9 = 30.
Ответ: 30.
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 352, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?
Это задача на логику и перебор чисел. После страницы 352 первой страницей будет 353, а выпавшие листы содержат страницы от 353 до 522.
Число 522 записывается цифрами числа 352 в другом порядке. Между первой и последней страницами выпавших листов — 522 − 353 + 1 = 170 страниц.
На одном листе две страницы, значит выпало 170 : 2 = 85 листов. Ответ: 85.
Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева,
начав путь от его основания?
Задание проверяет учёт дневного подъёма и ночного спуска улитки. После каждой полной ночи она продвигается на 3 − 1 = 2 м.
За 5 ночей улитка поднимется на 10 м. На шестой день она преодолеет оставшиеся 3 м и достигнет вершины до ночного спуска.
Ответ: 6.
Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 11 м. За какое наименьшее количество дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?
Задание проверяет логику при движении с дневным подъёмом и ночным спуском.
За каждый полный день и ночь улитка продвигается на 2 − 1 = 1 м. После 9 полных дней и ночей она окажется на высоте 9 м. На 10-й день поднимется ещё на 2 м и достигнет вершины.
Ответ: 10.
Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 40 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Задание проверяет составление уравнения по очкам и перебор целых значений. Пусть верных ответов x, ошибок y, пропусков z. Тогда 5x − 9y = 40, причём y ≥ 1, и x + y + z = 25. По сравнению по модулю 5 получаем y, кратное 5; при y = 5 имеем x = 17, а x + y = 22 ≤ 25. При y ≥ 10 уже x ≥ 26, что невозможно.
Ответ: 17.
Клетки таблицы раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 26 пар соседних клеток разного цвета и 9 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
В таблице 4 × 7 всего 4 · 6 + 3 · 7 = 45 пар соседних клеток: 24 пары по горизонтали и 21 по вертикали.
Из них 26 пар разного цвета, поэтому пар одного цвета 45 − 26 = 19.
9 пар чёрные, значит, белых пар 19 − 9 = 10.
Ответ: 10.
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце
равна 125, во втором 97, в третьем 71, а сумма чисел в каждой строке больше 23, но меньше 26. Сколько всего строк в таблице?
Задание проверяет умение оценивать сумму по границам. Сумма чисел во всех клетках равна 125 + 97 + 71 = 293. Сумма каждой строки — целое число больше 23 и меньше 26, значит, она равна 24 или 25. При 12 строках общая сумма должна быть не меньше 12 · 24 = 288 и не больше 12 · 25 = 300; сумма 293 этому соответствует. Ответ можно получить точнее: если строк 11, сумма не превосходит 275, а если 13 — не меньше 312; следовательно, строк 12.
Ответ: 12.
Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля 23. Сколько партий сыграл Лёша?
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 12 поперечных распилов, в итоге получилось 22 куска. Сколько досок взяли?
Задание проверяет связь между числом распилов и числом получившихся частей. Каждый распил увеличивает общее число кусков на один. Если распилить n досок, изначально есть n кусков, поэтому после 12 распилов будет n + 12 кусков.
Составим равенство: n + 12 = 22, откуда n = 10.
Ответ: 10.
