Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
| Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 18, боковое ребро равно 41. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |
|
Задание проверяет нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 41, 41 и основанием 18; его высота равна √(41² − 9²) = 40.
Площадь одной грани: 18 · 40 / 2 = 360. Таких граней шесть, поэтому площадь боковой поверхности равна 6 · 360 = 2160.
Ответ: 2160.
Однородный шар диаметром 3 см весит 189 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?
Проверяется зависимость объёма шара от его диаметра: при одинаковом материале масса пропорциональна объёму, а объёмы относятся как кубы диаметров. Поэтому масса большего шара равна 189 · (4 / 3)³ = 189 · 64 / 27 = 448 г. Ответ: 448.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 11 и 5. Найдите объём призмы, если её высота равна 4. |
|
Проверяется объём прямой призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь прямоугольного треугольника в основании равна 11 · 5 / 2 = 27,5. Объём призмы равен 27,5 · 4 = 110. Ответ: 110.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 2, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно . Найдите объём пирамиды .
Проверяется объём пирамиды: V = (1/3)Sоснh. Площадь правильного треугольника со стороной 2 равна Sосн = (√3/4) · 2² = √3. Перпендикулярное основанию ребро SA — высота пирамиды, h = √3, поэтому V = (1/3) · √3 · √3 = 1.
Ответ: 1.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 6, 6 и Найдите объём параллелепипеда |
|
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трёх измерений: V = AB · BC · AA1.
Диагональ грани BC1 даёт BC2 + AA12 = (3√5)2 = 45. Значит, AA12 = 45 − 62 = 9, поэтому AA1 = 3.
Тогда V = 6 · 6 · 3 = 108.
Ответ: 108.
| Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от оси |
|
Задание проверяет площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Ширина сечения — хорда основания: 2√(25² − 24²) = 2√49 = 14. Высота сечения равна образующей цилиндра, то есть 15, поэтому площадь равна 14 · 15 = 210.
Ответ: 210
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 4, а второго
3 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
Проверяется применение формулы объёма конуса: V = 1/3 · πr²h.
Объёмы конусов относятся как произведения квадратов радиусов оснований на высоты. Поэтому V₁ / V₂ = (6² · 4) / (3² · 4) = 4.
Ответ: 4.
Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Проверяется зависимость площади поверхности шара от радиуса: S = 4πr². Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов: (8/1)² = 64.
Ответ: 64.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 6, 4 и . Найдите объём параллелепипеда . |
|
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх измерений: V = AB · AD · AA1.
По диагонали боковой грани AB1: AB2 + AA12 = (3√5)2 = 45. Поэтому AA12 = 45 − 62 = 9, откуда AA1 = 3.
Тогда V = 6 · 4 · 3 = 72.
Ответ: 72.
| Объём конуса равен а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. |
|
Проверяется тема «Стереометрия: объёмы и площади». Объём конуса вычисляется по формуле V = πr²h/3. При V = 25π и h = 3 получаем 25π = πr², значит r² = 25 и r = 5.
Ответ: 5.
| Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8, |
|
Задание проверяет формулу площади боковой поверхности цилиндра: Sбок = 2πrh. Для первого цилиндра S₁ = 2π · 9 · 8 = 144π, для второго S₂ = 2π · 12 · 3 = 72π. Отношение площадей равно 144π / 72π = 2.
Ответ: 2.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Задание проверяет объём призмы. Площадь равностороннего треугольника со стороной 4 равна S = 4²√3/4 = 4√3. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = 4√3 · 3√3 = 36.
Ответ: 36
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 8 и 9,
а второго 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?
Проверяется формула площади боковой поверхности конуса: S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Для конусов получаем S₁ = 72π и S₂ = 16π. Их отношение равно 72π / 16π = 4,5. Ответ: 4,5.
| Объём конуса равен а радиус его основания равен 2. Найдите длину высоты этого конуса. |
|
Задание проверяет формулу объёма конуса: V = πr²h/3. Подставляем V = 16π и r = 2: 16π = 4πh/3. Отсюда h = 12. Ответ: 12.
Даны два шара с радиусами 7 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Объём шара пропорционален кубу его радиуса: V = 4πr³ / 3. Поэтому объёмы относятся как 7³ / 1³ = 343.
Ответ: 343.
| Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 6, |
|
Задание проверяет формулу площади боковой поверхности конуса: S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Для первого конуса площадь равна π · 3 · 6 = 18π, для второго — π · 4 · 9 = 36π. Их отношение равно 36π / 18π = 2.
Ответ: 2.
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго
2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго цилиндра?
Проверяется площадь боковой поверхности цилиндра: S = 2πrh. Отношение площадей равно (4·18)/(2·3) = 12, поскольку множитель 2π сокращается.
Ответ: 12.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту.
По теореме Пифагора второй катет основания равен √(29 − 2²) = 5. Площадь прямоугольного треугольника: 2 · 5 / 2 = 5.
Объём призмы равен 5 · 6 = 30.
Ответ: 30.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Проверяется объём пирамиды: V = (1/3)Sоснh. Площадь правильного треугольника со стороной 6 равна Sосн = (√3/4) · 6² = 9√3. Тогда V = (1/3) · 9√3 · 5√3 = 45.
Ответ: 45.
| Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно |
|
Задание проверяет объём пирамиды: V = Sосн · h / 3.
В правильной четырёхугольной пирамиде расстояние от центра основания до вершины квадрата равно половине диагонали: 6√2 / 2 = 3√2. По теореме Пифагора высота пирамиды равна √(82 − (3√2)²) = 8.
Площадь основания равна 6² = 36, поэтому V = 36 · 8 / 3 = 96.
Ответ: 96.
