Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Задание проверяет вычисление объёма пирамиды. Площадь равностороннего основания со стороной 2 равна S = 2²√3/4 = √3. Тогда V = Sh/3 = √3 · 7√3/3 = 7.
Ответ: 7
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 2, |
|
Задание проверяет вычисление площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Третье ребро равно 6 : (1 · 2) = 3, поскольку объём равен произведению трёх рёбер.
Площадь поверхности: 2 · (1 · 2 + 1 · 3 + 2 · 3) = 22.
Ответ: 22.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 2, 6 и . Найдите объём параллелепипеда . |
|
Проверяется объём прямоугольного параллелепипеда. Диагональ грани DA1 и рёбра DA и AA1 образуют прямоугольный треугольник: AA1 = √((2√10)² − 2²) = 6.
Третье измерение равно DC = 6, поэтому объём равен 2 · 6 · 6 = 72.
Ответ: 72.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 1, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Проверяется объём призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь правильного треугольника со стороной 1 равна √3/4.
Умножаем её на высоту призмы 5√3: (√3/4) · 5√3 = 15/4 = 3,75.
Ответ: 3,75.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Проверяется вычисление объёма пирамиды по площади основания и высоте. Площадь равностороннего треугольника со стороной 2 равна (√3/4) · 2² = √3. Объём V = 1/3 · √3 · 3√3 = 3. Ответ: 3.
| Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 11 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах. |
|
У подобных пирамид соответствующие линейные размеры относятся одинаково. Сторона музейной копии 11 см, а сторона оригинала 220 м = 22 000 см; коэффициент подобия равен 11 / 22 000 = 1 / 2000.
Высота копии равна 104 м · 1 / 2000 = 0,052 м = 5,2 см.
Ответ: 5,2.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 5, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Основание — равносторонний треугольник со стороной 5. Его площадь равна (√3/4) · 5² = 25√3/4. Объём пирамиды V = (1/3)Sоснh = (1/3) · (25√3/4) · 4√3 = 25.
Ответ: 25.
| Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 8 и 9, а второго 6 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго? |
|
Проверяется применение формулы объёма конуса: V = ⅓πr²h. При сравнении объёмов множители ⅓π сокращаются.
Отношение объёма первого конуса ко второму равно (8² · 9)/(6² · 4) = 576/144 = 4.
Ответ: 4.
| Объём конуса равен 500. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Задание проверяет объём подобных конусов. От вершины до сечения проходит 1/5 высоты исходного конуса, поэтому линейный масштаб малого конуса равен 1/5, а объём уменьшается в (1/5)³ = 1/125 раза. Объём отсечённого конуса равен 500 : 125 = 4.
Ответ: 4
| Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая |
|
Проверяется площадь сечения цилиндра, параллельного его оси.
Половина хорды основания равна √(13² − 12²) = 5, значит, длина хорды равна 10. Площадь сечения равна 10 · 18 = 180.
Ответ: 180.
| Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 40, боковое ребро равно 101. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |
|
Задание проверяет площадь боковой поверхности правильной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 101, 101 и основанием 40; его высота равна √(101² − 20²) = 99. Площадь одной грани равна 40 · 99 / 2 = 1980. Таких граней шесть, значит, боковая поверхность равна 6 · 1980 = 11880.
Ответ: 11880.
| Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 5, |
|
Проверяется формула площади боковой поверхности конуса: S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Отношение площадей второго и первого конусов равно (5 · 6)/(2 · 5) = 3. Ответ: 3.
| Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 23 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах. |
|
Задание проверяет подобие правильных пирамид. Отношение сторон оснований равно 23 см : 230 м = 23 : 23000 = 1 : 1000, поскольку 230 м = 23000 см.
Все линейные размеры подобных фигур относятся так же, поэтому высота копии равна 147 м : 1000 = 0,147 м = 14,7 см.
Ответ: 14,7.
Однородный шар диаметром 4 см весит 256 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Задание проверяет зависимость массы однородного шара от его объёма. Объёмы шаров относятся как кубы диаметров, поэтому масса второго шара равна 256 · (5/4)³ = 256 · 125/64 = 500 г.
Ответ: 500
| Объём данного конуса равен 256. Через точку, делящую высоту конуса в отношении считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Проверяется свойство подобных конусов: их объёмы относятся как кубы соответствующих линейных размеров. Точка делит высоту в отношении 1:3 от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет 1/4 высоты исходного. Его объём равен 256 · (1/4)³ = 4.
Ответ: 4
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 4, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно Найдите объём пирамиды
Задание проверяет объём пирамиды: V = ⅓Sоснh. Площадь правильного треугольника со стороной 4 равна 4²√3/4 = 4√3, а высота пирамиды равна 5√3. Поэтому V = ⅓ · 4√3 · 5√3 = 20.
Ответ: 20.
| Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 2, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса? |
|
Проверяются формула объёма конуса и сравнение отношений. Объём конуса равен V = πr²h/3, поэтому отношение объёмов равно (3² · 2)/(2² · 3) = 18/12 = 1,5. Ответ: 1,5.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Проверяются объём призмы и площадь правильного треугольника. Площадь основания равна (√3/4) · 2² = √3. Объём призмы: V = Sосн · h = √3 · 2√3 = 6.
Ответ: 6.
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник
со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 60.
Задание проверяет формулу объёма пирамиды: V = ⅓Sоснh. Площадь прямоугольного основания равна 12 · 5 = 60. Тогда 60 = ⅓ · 60 · h, откуда h = 3.
Ответ: 3.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5, |
|
Проверяется вычисление объёма прямой призмы: V = Sосн · h. Второй катет основания равен √((5√2)² − 5²) = 5 по теореме Пифагора. Площадь прямоугольного треугольника равна 5 · 5 / 2 = 12,5, поэтому объём призмы равен 12,5 · 4 = 50.
Ответ: 50
