Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 5, 5 и Найдите объём параллелепипеда |
|
Проверяется умение находить объём прямоугольного параллелепипеда. Диагональ боковой грани со сторонами DA = 5 и высотой h равна √29.
По теореме Пифагора h² + 5² = 29, откуда h = 2. Объём равен произведению трёх рёбер: 5 · 5 · 2 = 50.
Ответ: 50.
Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Задание проверяет отношение объёмов шаров. Объём шара вычисляется по формуле V = 4πr³/3, поэтому при сравнении радиусы нужно возвести в третью степень. Отношение объёмов равно 6³/1³ = 216. Ответ: 216.
| Для печати на 3D-принтере двухцветного конуса используются три параметра: радиус основания, угол наклона образующей к основанию и точка смены цвета на образующей. В программу введены: радиус 3 см, |
|
Задание проверяет прямоугольный треугольник в осевом сечении конуса и деление отрезка пополам. Радиус основания равен 3 см, угол между образующей и основанием равен 60°, поэтому cos 60° = 3/l, где l — длина образующей; отсюда l = 6 см. Точка смены цвета — середина образующей, значит расстояние от вершины до неё равно 6/2 = 3 см.
Ответ: 3
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 9. Найдите площадь этого сечения. |
|
Проверяются площадь сечения цилиндра и теорема Пифагора. Ширина сечения равна хорде основания на расстоянии 9 от центра: 2√(15² − 9²) = 24. Высота сечения равна образующей цилиндра, то есть 14. Тогда площадь сечения равна 24 · 14 = 336.
Ответ: 336.
Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Задание проверяет зависимость объёма шара от радиуса: V = 4πr³/3. Отношение объёмов равно отношению кубов радиусов: 8³ : 4³ = 512 : 64 = 8.
Ответ: 8
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 3, |
|
Проверяются объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 189 : (9 · 3) = 7.
Площадь поверхности равна 2 · (9 · 3 + 9 · 7 + 3 · 7) = 2 · 111 = 222.
Ответ: 222.
| Объём данного конуса равен 320. Через точку, делящую высоту конуса в отношении считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Проверяется изменение объёма конуса при сечении, параллельном основанию. От вершины до сечения проходит четверть высоты исходного конуса: точка делит высоту в отношении 1:3.
Малый конус подобен исходному с коэффициентом 1/4. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому объём малого конуса равен 320 · (1/4)³ = 5.
Ответ: 5.
| Объём конуса равен 8. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Проверяется изменение объёма подобных конусов. Конус, отсечённый плоскостью, подобен исходному с коэффициентом 1/2, поскольку плоскость проходит через середину высоты. Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента: 8 · (1/2)³ = 1.
Ответ: 1.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник,
один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
Задание проверяет объём призмы и площадь прямоугольного треугольника. Второй катет равен √(40 − 2²) = √36 = 6, поэтому площадь основания равна ½ · 2 · 6 = 6. Объём призмы: 6 · 3 = 18.
Ответ: 18.
Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Проверяется формула площади поверхности шара: S = 4πr². Отношение площадей шаров равно 8²/4² = 4, так как множитель 4π сокращается. Ответ: 4.
| В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если AB = 5, AC = 14 и AD = 3. |
|
Задание проверяет объём треугольной пирамиды с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами из одной вершины. Два ребра основания можно взять за стороны прямоугольного треугольника: площадь основания равна 5 · 14 / 2 = 35. Высота равна 3, поэтому объём равен 1/3 · 35 · 3 = 35. Ответ: 35.
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 60.
Проверяется объём пирамиды: V = Sоснh/3. Площадь прямоугольного основания равна 12 · 5 = 60, поэтому 60 = 60h/3 и высота h = 3. Ответ: 3.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 8, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Задание проверяет площадь боковой поверхности правильной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 8; его высота к основанию 8 равна √(5² − 4²) = 3. Площадь одной грани равна 8 · 3 / 2 = 12, а таких граней три. Ответ: 36.
Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле S = 4πr². Отношение площадей равно отношению квадратов радиусов: 6² / 2² = 36 / 4 = 9. Ответ: 9.
| Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 22, боковое ребро равно 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |
|
Задание проверяет нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильном шестиугольнике каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 61, 61 и основанием 22.
Высота грани равна √(61² − 11²) = 60. Площадь одной грани равна 22 · 60 / 2 = 660; граней шесть, поэтому общая площадь равна 6 · 660 = 3960.
Ответ: 3960.
| В прямоугольном параллелепипеде |
|
Задание проверяет объём прямоугольного параллелепипеда: он равен произведению трёх измерений. По рисунку рёбра CD и CB равны 2 и 4, а диагональ боковой грани CD₁ равна 2√10. Для третьего измерения используем теорему Пифагора: CD₁² = CD² + DD₁², откуда DD₁² = 40 − 4 = 36 и DD₁ = 6. Тогда объём равен 2 · 4 · 6 = 48.
Ответ: 48.
| Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении , считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Сечение параллельно основанию образует конус, подобный исходному. Точка делит высоту в отношении 1:2 от вершины, поэтому высота малого конуса составляет ⅓ высоты большого. Все линейные размеры уменьшаются в 3 раза, а объём — в 3³ = 27 раз. Получаем 27 : 27 = 1.
Ответ: 1.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Задание проверяет нахождение площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 20, 20 и 24; его высота к стороне 24 равна √(20² − 12²) = 16. Площадь одной грани равна 24 · 16 / 2 = 192, а трёх граней — 3 · 192 = 576.
Ответ: 576.
| Объём конуса равен , а его высота равна 9. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет объём конуса. Используем формулу V = πr²h / 3.
Подставим данные: 48π = πr² · 9 / 3 = 3πr². Тогда r² = 16, а радиус r = 4.
Ответ: 4.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 3. |
|
Задание на объём прямой призмы: он равен произведению площади основания на высоту.
Второй катет основания находим по теореме Пифагора: √((2√5)² − 2²) = √16 = 4. Площадь прямоугольного треугольника равна 2 · 4 / 2 = 4.
Объём призмы: 4 · 3 = 12. Ответ: 12.
рёбра 
, 
и диагональ 
боковой грани равны соответственно 2, 4 и 
. Найдите объём параллелепипеда 
