Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
| Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 16, боковое ребро равно 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |
|
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей шести боковых треугольников. Каждый из них равнобедренный со сторонами 17, 17 и основанием 16; высота к основанию равна √(17² − 8²) = 15. Площадь одного треугольника: 16 · 15 / 2 = 120, значит общая площадь равна 6 · 120 = 720. Ответ: 720.
Однородный шар диаметром 4 см весит 256 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Задание проверяет, как меняется масса однородного тела при изменении его размеров. При одинаковом материале масса пропорциональна объёму, а объёмы шаров относятся как кубы диаметров.
Масса второго шара равна 256 · (5 / 4)³ = 256 · 125 / 64 = 500 г.
Ответ: 500.
Даны два шара с радиусами 6 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего шара?
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле S = 4πR2. При увеличении радиуса в 6 / 3 = 2 раза площадь увеличивается в 22 = 4 раза.
Ответ: 4.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Объём конуса равен , а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет формулу объёма конуса: V = 1/3 · πr²h. Подставим объём 64π и высоту 3: 64π = 1/3 · πr² · 3 = πr². Значит, r² = 64, а радиус основания равен 8.
Ответ: 8
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 15. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 75.
Задание проверяет формулу объёма пирамиды: V = Sосн · h : 3. Площадь прямоугольного основания равна 3 · 15 = 45, поэтому высота равна 3 · 75 : 45 = 5.
Ответ: 5.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 4. |
|
Проверяется вычисление объёма прямой призмы через площадь основания. Второй катет основания равен √((√65)² − 4²) = √49 = 7 по теореме Пифагора. Площадь прямоугольного треугольника равна 4 · 7 / 2 = 14, поэтому объём призмы равен 14 · 4 = 56. Ответ: 56.
| Объём конуса равен а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. |
|
Объём конуса вычисляется по формуле V = πr²h / 3. Подставим V = 9π и h = 3: 9π = πr², откуда r² = 9 и r = 3, поскольку радиус положителен. Ответ: 3.
| Объём конуса равен , а его высота равна 7. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет формулу объёма конуса: V = (1/3)πr²h. Подставим объём 84π и высоту 7: 84π = (1/3)πr² · 7.
После сокращения на π получаем r² = 36, значит, радиус основания равен 6.
Ответ: 6.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 2, а второго
4 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
Задание проверяет формулу объёма конуса: V = πr²h/3. В отношении объёмов одинаковый множитель π/3 сокращается, поэтому V₂/V₁ = (4² · 9)/(2² · 2) = 144/8 = 18.
Ответ: 18.
| В прямоугольном параллелепипеде |
|
Задание проверяет объём прямоугольного параллелепипеда и теорему Пифагора.
По рисунку рёбра CD и CB равны 4 и 3, а диагональ боковой грани CD₁ равна 4√2. Тогда CD₁² = CD² + DD₁², откуда DD₁² = 32 − 16 = 16 и DD₁ = 4. Объём равен 4·3·4 = 48.
Ответ: 48.
| Объём конуса равен , а его высота равна 5. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет применение формулы объёма конуса: V = πr²h / 3. Подставим V = 15π и h = 5: 15π = πr² · 5 / 3, откуда r² = 9.
Радиус положителен, поэтому r = 3.
Ответ: 3.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3,
а второго 3 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
Задание проверяет применение формулы площади боковой поверхности конуса: S = πrl. У первого конуса S₁ = π · 2 · 3 = 6π, у второго S₂ = π · 3 · 6 = 18π.
Искомое отношение S₂/S₁ = 18π/6π = 3.
Ответ: 3.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 5. |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: нужно найти площадь основания и умножить её на высоту. Второй катет прямоугольного треугольника равен √((3√5)² − 3²) = 6. Площадь основания равна 3 · 6 / 2 = 9, поэтому объём равен 9 · 5 = 45. Ответ: 45.
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 9. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 72.
Задание проверяет объём пирамиды: V = Sосн · h/3. Площадь прямоугольного основания равна 3 · 9 = 27, поэтому высота h = 3 · 72/27 = 8.
Ответ: 8.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго 9 и 7. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
Проверяется сравнение объёмов конусов. Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, поэтому отношение объёмов равно (9² · 7) / (3² · 6) = 567 / 54 = 10,5. Ответ: 10,5.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Проверяется объём пирамиды: он равен одной трети произведения площади основания на высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 4, его площадь равна 4²·√3/4 = 4√3. Тогда V = (1/3)·4√3·2√3 = 8.
Ответ: 8.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Площадь правильного треугольника со стороной 6 равна 6²√3 / 4 = 9√3. Тогда V = 9√3 · 2√3 / 3 = 18. Ответ: 18.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 6, |
|
Задание проверяет объём прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании. Второй катет равен √((√85)² − 6²) = 7. Площадь основания равна 6 · 7 / 2 = 21, значит, объём призмы равен 21 · 3 = 63. Ответ: 63.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 11 и 5, а объём параллелепипеда равен 440. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. |
|
Задание проверяет нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда по его объёму и двум рёбрам. Третье ребро: 440 : (11 · 5) = 8. Площадь поверхности равна 2 · (11 · 5 + 11 · 8 + 5 · 8) = 366.
Ответ: 366.
| Плоскость, проходящая через точки , и (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней? |
|
Задание проверяет, как сечение делит многогранник и как считать его вершины и грани. По рисунку плоскость срезает один угол тетраэдра: у срезанной части 4 вершины, а у другой части остаются 3 вершины сечения и 3 вершины исходного тетраэдра, всего 6. У второй части 5 граней, у срезанной — 4, поэтому больше граней у многогранника с 6 вершинами.
Ответ: 6
рёбра 
, 
и диагональ 
боковой грани равны соответственно 4, 3 и 
. Найдите объём параллелепипеда 
