Задание 13 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет объём конуса. Используем формулу V = ⅓πr²h: при V = 6π и r = 1 получаем 6π = ⅓πh, поэтому h = 18.

Ответ: 18.

Проверяется нахождение объёма призмы: V равен площади основания, умноженной на высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь равна (√3/4) · 2² = √3. Тогда V = √3 · 5√3 = 15.

Ответ: 15.

Проверяется площадь боковой поверхности конуса. По формуле S = πrl отношение площадей равно отношению произведений радиуса на образующую: (6 · 7)/(4 · 7) = 1,5.

Ответ: 1,5.

Проверяется умение находить объём пирамиды. Диагональ квадратного основания равна 6√2, поэтому расстояние от центра основания до его вершины равно 3√2.

Высота пирамиды: √((3√3)² − (3√2)²) = 3. Площадь основания равна 6² = 36, значит объём равен ⅓ · 36 · 3 = 36.

Ответ: 36.

Проверяется формула объёма конуса: V = πr²h / 3. В отношении объёмов множитель π / 3 сокращается, поэтому V₁ / V₂ = 9² · 6 / (6² · 3) = 486 / 108 = 4,5.

Ответ: 4,5

Задание проверяет объёмы подобных тел. Высота малого конуса составляет 1/5 высоты исходного, поэтому его объём составляет (1/5)³ = 1/125 объёма исходного конуса. Вычисляем: 625/125 = 5.

Ответ: 5.

Задание проверяет изменение объёма конуса при сечении, параллельном основанию. От вершины до плоскости проходит треть высоты, поэтому линейный масштаб отсечённого конуса равен 1/3, а его объём составляет (1/3)³ = 1/27 объёма исходного. Тогда объём исходного конуса равен 30 · 27 = 810. Ответ: 810.

Проверяется площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси. Сечение — прямоугольник высотой 18; его ширина равна хорде основания на расстоянии 8 от центра: 2√(10² − 8²) = 12. Площадь равна 12 · 18 = 216.

Ответ: 216.

Задание проверяет площадь поверхности шара: S = 4πr². Отношение площадей шаров с радиусами 9 и 1 равно 9²/1² = 81.

Ответ: 81.

Проверяется формула площади боковой поверхности конуса: S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Для первого конуса S₁ = π · 5 · 9, для второго S₂ = π · 3 · 5. Отношение площадей равно 45π / 15π = 3.

Ответ: 3

Задание проверяет подобие правильных пирамид: все линейные размеры меняются в одном отношении. Сторона музейной копии в 200 раз меньше: 220 м = 22 000 см, а 22 000 : 110 = 200. Поэтому высота копии равна 104 : 200 = 0,52 м, то есть 52 см.

Ответ: 52

Проверяется, как меняется объём конуса при уменьшении его размеров. Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом подобия 1/2, поэтому его объём составляет (1/2)³ от исходного. Получаем 16 · 1/8 = 2.

Ответ: 2.

Проверяется нахождение объёма призмы через площадь основания и высоту. Площадь равностороннего треугольника со стороной 4 равна 4²√3/4 = 4√3. Объём призмы равен 4√3 · √3 = 12.

Ответ: 12.

Задание проверяет объём пирамиды с взаимно перпендикулярными рёбрами, выходящими из одной вершины. Рёбра 8, 12 и 10 можно взять за три перпендикулярных измерения, поэтому объём равен 1/6 произведения их длин.

V = 8 · 12 · 10 / 6 = 160.

Ответ: 160.

Проверяется нахождение объёма призмы через площадь основания и высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 1, его площадь равна √3/4. Тогда объём равен (√3/4) · 4√3 = 3.

Ответ: 3.

Проверяется изменение объёма шара при изменении диаметра. Для шаров из одного материала масса пропорциональна объёму, а объёмы подобных шаров относятся как кубы диаметров.

Масса меньшего шара равна 500 · (3/5)³ = 108 г.

Ответ: 108.

Проверяется, как меняется объём конуса при изменении радиуса основания и высоты. Формула объёма: V = ⅓πr²h. Отношение объёмов равно (8² · 9) / (2² · 6) = 576 / 24 = 24.

Ответ: 24.

Задание проверяет отношение объёмов подобных конусов. От вершины до сечения проходит 1/3 высоты исходного конуса, поэтому объём отсечённого конуса составляет (1/3)³ = 1/27 объёма всего конуса. Тогда объём исходного конуса равен 10 · 27 = 270.

Ответ: 270

Задание проверяет объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 180 / (4 · 3) = 15.

Площадь поверхности вычисляется по формуле S = 2(ab + ac + bc). Получаем S = 2(4 · 3 + 4 · 15 + 3 · 15) = 2 · 117 = 234.

Ответ: 234.

Площадь основания призмы равна половине произведения катетов. Второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора равен √((√34)² − 3²) = √25 = 5. Тогда объём призмы равен (3 · 5 / 2) · 6 = 45.

Ответ: 45.