Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
| Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вчетверо выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй? |
|
Задание проверяет объёмы цилиндров: V = πr²h. Высота первой кружки в 4 раза больше, а радиус второй в 4 раза больше радиуса первой. Поэтому отношение объёмов второй кружки к первой равно 4² : 4 = 4.
Ответ: 4.
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 3,
а второго — 3 и 6. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго цилиндра?
Проверяется отношение объёмов цилиндров. Объём цилиндра равен πr²h, поэтому отношение объёмов равно (9² · 3) / (3² · 6) = 243 / 54 = 4,5.
Ответ: 4,5.
| Радиус основания цилиндра равен 20, а его образующая |
|
Проверяется площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси. Сечение — прямоугольник высотой 8; его ширина равна хорде основания на расстоянии 12 от центра: 2√(20² − 12²) = 32. Площадь равна 32 · 8 = 256.
Ответ: 256.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Радиус основания цилиндра равен 20, а его образующая |
|
Проверяется площадь сечения цилиндра, параллельного его оси.
Расстояние от оси до хорды основания равно 16, поэтому половина хорды равна √(20² − 16²) = 12. Длина хорды равна 24, а площадь сечения — 24 · 6 = 144.
Ответ: 144.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 2, 3 и Найдите объём параллелепипеда |
|
В боковой грани с рёбрами BC и CC₁ диагональ BC₁ равна 2√5. По теореме Пифагора: CC₁² = (2√5)² − 2² = 20 − 4 = 16, значит, CC₁ = 4. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх измерений: 2 · 3 · 4 = 24.
Ответ: 24.
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6,
а второго 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?
Проверяется формула объёма цилиндра V = πr²h.
Отношение объёмов равно (π · 6² · 4) : (π · 2² · 6) = 6.
Ответ: 6.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 4 и 9,
а второго 6 и 8. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого конуса?
Проверяется формула объёма конуса V = πr²h/3 и сравнение объёмов. Отношение объёма второго конуса к объёму первого равно (6² · 8)/(4² · 9) = 288/144 = 2; множитель π/3 сокращается.
Ответ: 2.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Проверяются площадь основания правильной треугольной пирамиды и формула её объёма. Основание — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь равна 2²√3/4 = √3. Тогда V = (1/3) · √3 · 3√3 = 3.
Ответ: 3.
| Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 5, |
|
Задание проверяет формулу объёма конуса: V = πr²h / 3.
При сравнении объёмов общий множитель π / 3 сокращается. Отношение объёма первого конуса к объёму второго равно (6² · 5) / (3² · 2) = 180 / 18 = 10.
Ответ: 10.
Однородный шар диаметром 5 см весит 375 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?
Проверяется зависимость объёма шара от его размера.
Шары из одного материала имеют одинаковую плотность, поэтому их массы относятся как объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра, значит масса маленького шара равна 375 · (2/5)³ = 24 г.
Ответ: 24.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Площадь равностороннего треугольника со стороной 2 равна 2²√3 / 4 = √3. Поэтому V = √3 · 7√3 / 3 = 7.
Ответ: 7.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 3, 7 и . Найдите объём параллелепипеда . |
|
Задание проверяет объём прямоугольного параллелепипеда: V = длина · ширина · высота.
На боковой грани со сторонами BC = 3 и высотой параллелепипеда диагональ BC₁ равна 3√5. По теореме Пифагора высота равна √((3√5)² − 3²) = 6.
Третье ребро BA равно 7, поэтому объём равен 3 · 7 · 6 = 126.
Ответ: 126.
| Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 7. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 20. Найдите площадь этого сечения. |
|
Задание проверяет нахождение площади сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси. В основании сечения получается хорда на расстоянии 20 от центра круга радиуса 25; половина хорды равна √(25² − 20²) = 15, значит, её длина равна 30. Сечение — прямоугольник со сторонами 30 и 7, поэтому его площадь равна 30 · 7 = 210. Ответ: 210.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9,
а второго 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?
Площадь боковой поверхности конуса равна πrl. Для первого конуса она равна π · 7 · 9 = 63π, для второго — π · 2 · 3 = 6π. Их отношение равно 63π / 6π = 10,5.
Ответ: 10,5.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 7. Найдите объём призмы, если её высота равна 4. |
|
Проверяется умение находить объём прямой призмы. Площадь прямоугольного треугольника в основании равна 5 · 7/2 = 17,5. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = 17,5 · 4 = 70. Ответ: 70.
| Радиус основания цилиндра равен 17, а его образующая равна 5. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения. |
|
Сечение, параллельное оси цилиндра, — прямоугольник. Его высота равна образующей, то есть 5, а ширина — хорде основания на расстоянии 8 от центра.
Половина хорды равна √(17² − 8²) = √225 = 15, поэтому ширина равна 30. Площадь сечения: 30 · 5 = 150.
Ответ: 150.
| Объём конуса равен , а его высота равна 9. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет объём конуса: V = πr²h/3. Подставим данные: 75π = πr²·9/3 = 3πr², откуда r² = 25 и r = 5.
Ответ: 5.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 2 и 18. Найдите объём призмы, если её высота равна 3. |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь прямоугольного треугольника в основании равна 2·18/2 = 18, поэтому объём призмы равен 18·3 = 54.
Ответ: 54.
| Объём конуса равен 250. Через точку, делящую высоту конуса в отношении считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Задание проверяет объёмы подобных конусов: отношение объёмов равно кубу отношения соответствующих линейных размеров. От вершины до секущей плоскости проходит 1 из 1 + 4 = 5 равных частей высоты, поэтому объём малого конуса равен 250·(1/5)³ = 2.
Ответ: 2.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 5, 4 и Найдите объём параллелепипеда |
|
Проверяется объём прямоугольного параллелепипеда. На боковой грани диагональ √34 и ребро AB = 5, поэтому высота равна √(34 − 5²) = 3. Объём равен 5 · 4 · 3 = 60.
Ответ: 60.
