Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 27 как степень числа 3: 27 = 3³.

Тогда из 3^5+x = 3³ следует 5 + x = 3, поэтому x = −2.

Ответ: −2.

Представим 25 как степень основания 1/5: 25 = (1/5)⁻².

Поскольку основания одинаковы и положительны, приравниваем показатели: 5 − x = −2. Получаем x = 7.

Ответ: 7.

Раскроем квадрат разности и упростим уравнение.

(2x − 1)² − 4x² = 4x² − 4x + 1 − 4x² = −4x + 1.

Из −4x + 1 = 0 получаем x = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 1/25 как 5⁻²: тогда 5^x−6 = 5⁻², откуда x − 6 = −2 и x = 4.

Ответ: 4.

Раскроем скобки: 1 − 6(x + 4) = 7, значит 1 − 6x − 24 = 7.

Отсюда −6x = 30 и x = −5.

Ответ: −5.

Основания степеней одинаковы и равны 6, поэтому приравниваем показатели: 2x + 2 = x + 7.

Решаем линейное уравнение: 2x − x = 7 − 2, значит x = 5.

Ответ: 5

Проверяется решение линейного уравнения. Переносим слагаемые с x влево, числа вправо: 6x + 4x = 4 + 3. Тогда 10x = 7, откуда x = 0,7. Ответ: 0,7.

Проверяется решение квадратного уравнения. Перенесём всё в одну сторону: x² + 4x = 0, затем разложим на множители: x(x + 4) = 0. Корни — 0 и −4; меньший из них равен −4.

Ответ: −4.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения с одинаковым основанием. По свойству разности логарифмов получаем log₁,₅((2x + 13)/2) = log₁,₅17, значит (2x + 13)/2 = 17. Тогда 2x + 13 = 34 и x = 10,5; условие области определения выполнено. Ответ: 10,5.

Задание проверяет решение линейного уравнения.

Раскрываем скобки: 8 − 3(8 + x) = 5 − 6x, то есть −16 − 3x = 5 − 6x. Прибавляем 6x и 16 к обеим частям: 3x = 21, поэтому x = 7.

Ответ: 7.

Представим 1/9 как степень числа 3: 1/9 = 3⁻².

При равных основаниях приравниваем показатели: x − 8 = −2, поэтому x = 6.

Ответ: 6.

Представим 1/81 как степень основания 1/3: 1/81 = (1/3)⁴.

При одинаковых положительных основаниях приравниваем показатели: x − 7 = 4. Отсюда x = 11.

Ответ: 11.

Проверяется решение линейного уравнения с раскрытием скобок. Раскрываем скобки: −3 + 4(−7 + 5x) = −31 + 20x. Получаем −31 + 20x = 9x − 9, поэтому 11x = 22 и Ответ: 2.

Проверяется решение логарифмического уравнения. Из log₂(4x − 20) = 3 следует 4x − 20 = 2³ = 8. Тогда 4x = 28 и x = 7; аргумент логарифма при этом положителен.

Ответ: 7.

Проверяется решение показательного уравнения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 3^3x−4 : 3^−5x+2 = 3^8x−6.

Так как 27 = 3³, получаем 8x−6 = 3, откуда 8x = 9 и x = 9/8 = 1,125.

Ответ: 1,125.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 11^(5x + 1) · 11^(3 − x) = 11^(4x + 4).

Так как 121 = 11², получаем 4x + 4 = 2. Отсюда 4x = −2 и x = −0,5.

Ответ: −0,5.

Задание проверяет решение линейного уравнения со скобками.

Раскроем скобки: 3x − 35 − 10x = 6x − 9. После приведения подобных слагаемых получаем −13x = 26, откуда x = −2.

Ответ: −2.

По теме номера нужно решить логарифмическое уравнение.

Из log₃(7x − 15) = 3 получаем 7x − 15 = 3³ = 27.

Тогда 7x = 42 и x = 6. Проверка: 7·6 − 15 = 27 > 0.

Ответ: 6.

По теме номера нужно решить показательное уравнение.

Заметим, что 1/64 = (1/4)³. Поэтому из (1/4)^?… Степени равны, значит x − 4 = 3.

Отсюда x = 7.

Ответ: 7.

Представим обе части как степени числа 2: 1/8 = 2⁻³, поэтому (1/8)^(2x + 3) = 2^(−6x − 9). Получаем 2^(4 − 2x) = 2^(−6x − 9); при равных основаниях приравниваем показатели: 4 − 2x = −6x − 9. Отсюда 4x = −13 и x = −13/4 = −3,25.

Ответ: −3,25.