Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет решение логарифмического уравнения. По свойству логарифмов log₂6 = log₂(3 · 2), а log₂18 = log₂(3 · 6); удобнее сразу объединить сумму: log₂(x − 1) + log₂6 = log₂(6(x − 1)).

Тогда 6(x − 1) = 18, откуда x − 1 = 3 и x = 4. Область допустимых значений: x − 1 > 0; найденное значение подходит.

Ответ: 4.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения. По определению логарифма log₅(4x + 7) = 2 означает 4x + 7 = 5² = 25. Тогда 4x = 18 и x = 4,5; аргумент логарифма при этом положителен. Ответ: 4,5.

Проверяется решение логарифмического уравнения. Область допустимых значений: 2x + 4 > 0, то есть x > −2.

По свойству логарифмов log₃((2x + 4)/2) = log₃5, значит (2x + 4)/2 = 5. Отсюда 2x + 4 = 10 и x = 3.

Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: 3.

Проверяется решение логарифмического уравнения: lg(a)=2 означает a=10².

Тогда 25x+60=100, откуда 25x=40 и x=1,6. Аргумент логарифма при этом равен 100 и положителен.

Ответ: 1,6.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 1/8 как (1/2)³. При одинаковых основаниях приравниваем показатели: x − 7 = 3, поэтому x = 10. Ответ: 10.

Проверяется решение линейного уравнения.

Раскроем скобки: 1 + 8(3x + 7) = 9, значит 24x + 57 = 9.

Тогда 24x = −48 и x = −2.

Ответ: −2.

Задание проверяет решение квадратных уравнений. Из x² − 16 = 0 следует x² = 16, поэтому корни уравнения: 4 и −4.

Условие просит меньший корень, это −4.

Ответ: −4.

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 8 как степень числа 2: 8 = 2³. Тогда 2^(9 − x) = 2³, значит, 9 − x = 3. Отсюда x = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет решение линейного уравнения. Раскроем скобки: 4(−7 − x) − 5x = −28 − 4x − 5x.

Тогда −28 − 9x = 8, откуда −9x = 36 и x = −4. Подстановка даёт 4(−3) − 5(−4) = 8.

Ответ: −4.

Проверяется решение квадратного уравнения и выбор большего корня. Перенесём всё в левую часть: x² − 17x + 72 = 0.

Разложим на множители: (x − 8)(x − 9) = 0, поэтому корни 8 и 9. Больший корень — 9.

Ответ: 9.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим обе части как степени числа 4: (1/4)⁽⁴⁻²ˣ⁾ = 4⁽²ˣ⁻⁴⁾, а 16⁽³ˣ⁺²⁾ = 4⁽⁶ˣ⁺⁴⁾.

Основания равны и больше 1, поэтому приравниваем показатели: 2x − 4 = 6x + 4. Получаем −8 = 4x, значит x = −2.

Ответ: −2.

Проверяется решение иррационального уравнения.

Возведём обе части в квадрат: 3x + 27 = 36.

Тогда 3x = 9, откуда x = 3. Проверка: √(3 · 3 + 27) = √36 = 6.

Ответ: 3.

Задание проверяет решение линейного уравнения.

Перенесём слагаемые: 2x + 3x = 5 − 2, то есть 5x = 3. Поэтому x = 3/5 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Перенесём всё в одну сторону: x² − 9x + 14 = 0. Разложим на множители: (x − 2)(x − 7) = 0, поэтому корни равны 2 и 7. По условию выбираем больший корень.

Ответ: 7.

Тема задания — иррациональные уравнения. Возводим обе части равенства √(2x − 11) = 3 в квадрат.

Получаем 2x − 11 = 9, откуда 2x = 20 и x = 10.

Проверка: √(2 · 10 − 11) = √9 = 3.

Ответ: 10.

Задание проверяет решение квадратного уравнения. Переносим всё в одну часть: x² − 7x + 12 = 0, откуда (x − 3)(x − 4) = 0.

Корни — 3 и 4; по условию выбираем больший. Ответ: 4.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения.

По определению логарифма: x/2 + 3 = (1/5)⁻¹ = 5. Значит, x/2 = 2 и x = 4; аргумент логарифма положителен.

Ответ: 4.

Задание проверяет свойства степеней и решение показательного уравнения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: (1/5)^{−3x + 2} : (1/5)^{7x − 4} = (1/5)^{−10x + 6}. Так как 1/25 = (1/5)², приравниваем показатели: −10x + 6 = 2. Отсюда x = 0,4.

Ответ: 0,4.

Задание проверяет решение иррационального уравнения. Возводим обе части в квадрат: 6x + 13 = 121, значит 6x = 108 и x = 18.

Проверка: √(6 · 18 + 13) = √121 = 11. Ответ: 18.

Показательное уравнение: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

(1/5)^3x+4 : (1/5)^−5x−2 = (1/5)^8x+6, а 1/125 = (1/5)³.

Приравниваем показатели: 8x + 6 = 3, поэтому x = −3/8 = −0,375.

Ответ: −0,375.