Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 64 как 8² и приравняем показатели: 9 + x = 2. Отсюда x = −7.

Ответ: −7.

Проверяется решение квадратного уравнения. Перенесём всё в одну сторону: x² − 4x = 0.

Вынесем x за скобки: x(x − 4) = 0, поэтому корни — 0 и 4. По условию выбираем больший.

Ответ: 4.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 13^2x+3 : 13^−4x−11 = 13^6x+14.

Так как 169 = 13², получаем 6x + 14 = 2. Отсюда 6x = −12 и x = −2.

Ответ: −2.

Решаются показательные уравнения с одинаковым основанием: при основании 3 равные степени имеют равные показатели. Так как 27 = 3³, получаем 3^{x + 2} = 3^{12 − 3x}. Тогда x + 2 = 12 − 3x, откуда 4x = 10 и x = 2,5.

Ответ: 2,5.

Проверяется решение логарифмического уравнения. При одинаковых основаниях логарифмов приравниваем аргументы: 4x + 21 = 9. Тогда 4x = −12, откуда x = −3. Аргументы равны 9 и положительны, поэтому корень допустим.

Ответ: −3.

Это задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 1/49 как 7⁻². Тогда 7^(−x + 2) = 7⁻², поэтому −x + 2 = −2 и x = 4.

Ответ: 4.

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 64 как степень 4: 64 = 4³, а (1/4)^{2 − x} = 4^{x − 2}. Тогда 4^{x − 2} = 4³, значит, x − 2 = 3 и x = 5. Ответ: 5.

Проверяется решение линейного уравнения. Переносим слагаемые с x в одну сторону: 5x − 10x = 8 + 1, откуда −5x = 9. Делим на −5 и получаем x = −1,8. Ответ: −1,8.

Проверяется решение квадратного уравнения и выбор меньшего корня.

Переносим всё в левую часть: x² + 5x = 0. Выносим x за скобки: x(x + 5) = 0, поэтому корни 0 и −5.

Меньший корень — −5.

Тема задания — решение уравнений. Представим числа как степени двойки: 1/2 = 2⁻¹ и 1/8 = 2⁻³. Тогда (1/2)^(x − 11) = 1/8 означает −(x − 11) = −3, поэтому x = 14.

Ответ: 14

Проверяется решение показательного уравнения.

Представим 1/25 как степень числа 5: 1/25 = 5⁻².

Тогда 5^{−x + 2} = 5⁻², поэтому −x + 2 = −2.

Решаем: −x = −4, значит, x = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения с одинаковыми основаниями. При основании 2 логарифмы равны, если равны их положительные аргументы: 5x − 23 = 17. Тогда 5x = 40 и x = 8; аргумент при этом равен 17 и допустим. Ответ: 8.

Задание проверяет решение показательного уравнения.

Представим 81 как 9². Тогда 9^(6 + x) = 9², откуда 6 + x = 2 и x = −4.

Ответ: −4.

Проверяется решение показательного уравнения: степени с одинаковым основанием можно перемножить, сложив показатели. Получаем 5^{4−3x+8x−2} = 1/125 = 5⁻³. Тогда 2+5x = −3, откуда x = −1.

Ответ: −1.

Задание проверяет решение иррациональных уравнений. Область допустимых значений: x > 0, так как √x стоит в знаменателе.

Из 1/√x = 1/6 получаем √x = 6, затем возводим обе части в квадрат: x = 36. Это значение удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: 36.

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 1/16 как (1/2)⁴. Тогда 4x − 16 = 4, откуда 4x = 20 и x = 5.

Ответ: 5.

Проверяется решение уравнения с квадратами выражений.

Из равенства квадратов следует: x − 1 = x + 1 либо x − 1 = −(x + 1). Первое равенство невозможно, а из второго получаем 2x = 0, то есть x = 0.

Ответ: 0.

Задание проверяет свойства степеней и решение показательного уравнения. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: (1/4)^(4x+1) · (1/4)^(5−2x) = (1/4)^(2x+6).

Поскольку 1/16 = (1/4)², получаем 2x + 6 = 2, откуда x = −2.

Ответ: −2.

Это показательное уравнение: нужно представить правую часть как степень с основанием 1/2.

8 = (1/2)⁻³, поэтому −5 − x = −3.

Отсюда −x = 2 и x = −2.

Ответ: −2.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 16 как 4²: 4^(3x − 4) = 4². Так как основания равны и 4 > 0, 4 ≠ 1, приравниваем показатели: 3x − 4 = 2, откуда x = 2.

Ответ: 2