Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Раскроем скобки: 9x − 2(−5 + 7x) = 10 − 5x. Тогда 10 − 5x = −8x − 5, поэтому 3x = −15 и x = −5.

Ответ: −5.

Проверяется решение показательного уравнения.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 2^{5x − 6} · 2^{1 − 4x} = 2^{x − 5}. Так как 1 = 2⁰, получаем x − 5 = 0, откуда x = 5.

Подстановка даёт 2⁰ = 1. Ответ: 5.

Это квадратное уравнение, которое удобно решить разложением на множители.

x² + 6x = x(x + 6) = 0, поэтому корни: x = 0 и x = −6.

Меньший корень равен −6.

Ответ: −6.

Решение квадратных уравнений сводится к разложению на множители.

Перенесём −18 в левую часть: x² − 11x + 18 = 0.

Разложим на множители: (x − 2)(x − 9) = 0, поэтому корни — 2 и 9.

Меньший корень равен 2.

Ответ: 2.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 16 как 4²: тогда 4^{x − 5} = 4², откуда x − 5 = 2 и x = 7. Ответ: 7.

Проверяется решение логарифмического уравнения. По свойству логарифмов: log₆((16 − 4x)/7) = log₆(1/35), значит (16 − 4x)/7 = 1/35.

Тогда 16 − 4x = 1/5, откуда x = 79/20 = 3,95. Аргумент логарифма при этом положителен.

Ответ: 3,95.

Проверяется решение логарифмического уравнения; аргумент логарифма должен быть положительным.

Перенесём логарифмы в одну сторону и объединим: log_0,3((4x + 6)/(1/5)) = log_0,312. Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт (4x + 6)/(1/5) = 12, значит 4x + 6 = 2,4 и x = −0,9.

При x = −0,9 аргумент 4x + 6 равен 2,4 и положителен. Ответ: −0,9.

Задание проверяет решение линейного уравнения со скобками.

Раскрываем скобки: 7(−6 − x) − 4x = −42 − 11x. Тогда −42 − 11x = −9, откуда −11x = 33 и x = −3.

Ответ: −3.

Проверяется решение линейного уравнения. Раскроем скобки: 5 − 6(−2x + 5) = 5 + 12x − 30 = 12x − 25. Получаем 12x − 25 = −1, откуда 12x = 24 и x = 2.

Ответ: 2.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 64 как степень числа 4: 64 = 4³. Тогда 4^{x − 6} = 4³, значит, x − 6 = 3. Отсюда x = 9.

Ответ: 9.

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 1/81 как (1/3)⁴: тогда при равных положительных основаниях показатели равны.

x − 9 = 4, поэтому x = 13.

Ответ: 13.

Проверяется решение логарифмического уравнения. По определению логарифма log₇(2x + 5) = 1 означает 2x + 5 = 7.

Тогда 2x = 2 и x = 1; область определения соблюдена, поскольку 2x + 5 = 7 > 0.

Ответ: 1.

Задание проверяет решение показательного уравнения и свойства степеней. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: 3^{6x + 5} : 3^{3x − 2} = 3^{3x + 7}. Так как 81 = 3⁴, получаем 3x + 7 = 4, значит x = −1. Ответ: −1.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения. При одинаковых основаниях и допустимых положительных аргументах равенство логарифмов означает равенство аргументов: 37 − 4x = 9. Тогда −4x = −28, поэтому x = 7. Аргумент равен 9 и положителен. Ответ: 7.

Проверяется решение квадратного уравнения и выбор большего корня. Из x² = 9 получаем x = ±3; больший корень равен 3.

Ответ: 3.

Логарифмы с одинаковым основанием 7 равны, значит, равны их аргументы: 3x − 19 = 11.

Решаем: 3x = 30, поэтому x = 10. Аргументы положительны, условие области определения выполнено.

Ответ: 10.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 16 как (1/4)⁻²: тогда (1/4)ˣ⁻³ = (1/4)⁻². Поскольку основание положительно и не равно 1, приравниваем показатели: x − 3 = −2, откуда x = 1. Ответ: 1.

Задание проверяет решение квадратного уравнения. Вынесем x за скобки: x² + 4x = x(x + 4) = 0, поэтому корни равны 0 и −4. По условию выбираем меньший корень. Ответ: −4.

Проверяется решение показательного уравнения с приведением обеих частей к основанию 2.

(1/8)^{1 − x} = (2⁻³)^{1 − x} = 2^{3x − 3}, а 64 = 2⁶. Поэтому 3x − 3 = 6 и x = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет применение свойства логарифмов с одинаковым основанием. Сложим логарифмы: log₃(x − 3) + log₃2 = log_{3>(2(x − 3))}. Приравниваем аргументы: 2(x − 3) = 10, откуда x = 8. Область определения выполнена: x − 3 > 0. Ответ: 8.