Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 6^{2x − 6} · 6^{5 − 3x} = 6^{−x − 1}. Так как 216 = 6³, получаем −x − 1 = 3, откуда x = −4.

Ответ: −4.

Задание проверяет свойства логарифмов и решение логарифмического уравнения.

Перенесём логарифмы в одну сторону: log₇((4x+4)/4) = log₇2. Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт (4x+4)/4 = 2, откуда x = 1. Аргументы логарифмов положительны при x = 1.

Ответ: 1.

Проверяется умение решать показательное уравнение. Основания одинаковы и больше 1, поэтому приравниваем показатели: 3x − 4 = 2x + 2. Отсюда x = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет решение квадратного уравнения и выбор большего корня. Из x² − 25 = 0 получаем x² = 25, поэтому x = −5 или x = 5. Больший корень — 5. Ответ: 5.

Задание проверяет решение уравнения с квадратами выражений. Перенесём правую часть: (x − 3)² − (x − 1)² = 0. По формуле разности квадратов получаем [(x − 3) − (x − 1)][(x − 3) + (x − 1)] = (−2)(2x − 4) = 0. Отсюда x = 2. Ответ: 2.

Задание проверяет решение показательного уравнения.

Представим 1/8 как 2⁻³. Тогда 2^−x+2 = 2⁻³, значит, −x + 2 = −3 и x = 5.

Ответ: 5.

Из равенства квадратов следует, что основания равны или противоположны: x + 2 = x + 4 либо x + 2 = −(x + 4).

Первое уравнение решений не имеет. Из второго получаем 2x = −6, значит, x = −3.

Ответ: −3.

Проверяется решение показательного уравнения через представление чисел степенями одного основания.

4 = (1/2)⁻², поэтому 1 − x = −2.

Отсюда x = 3. Ответ: 3.

Это задание проверяет решение уравнения с квадратами. Из (x − 8)² = (x − 2)² следует, что x − 8 = x − 2 или x − 8 = −(x − 2). Первое равенство невозможно, а второе даёт 2x = 10, откуда x = 5.

Ответ: 5.

Задание проверяет свойства логарифмов и область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным.

Условие x < 4. По свойству разности логарифмов log₇((8 − 2x)/8) = log₇(1/40), значит (8 − 2x)/8 = 1/40. Тогда 8 − 2x = 0,2 и x = 3,9; это значение удовлетворяет условию x < 4.

Ответ: 3,9.

Задание проверяет решение логарифмических уравнений и свойства логарифма произведения и частного.

Область определения: 9 − 4x > 0. Объединим логарифмы: log_1/2((9 − 4x)/(1/3)) = log_1/215.

Тогда 3(9 − 4x) = 15, откуда 27 − 12x = 15 и x = 1. Проверка области определения: 9 − 4 · 1 = 5 > 0.

Ответ: 1.

Проверяется решение показательного уравнения. Используем свойство степеней: 2^(−3x + 1) · 2^(−x − 5) = 2^(−4x − 4), а 1/64 = 2^(−6). При равных основаниях приравниваем показатели: −4x − 4 = −6, откуда x = 0,5.

Ответ: 0,5.

Проверяется решение показательного уравнения приведением к одному основанию.

1/36 = 6⁻², поэтому 6^x−12 = 6⁻². Приравниваем показатели: x − 12 = −2.

Отсюда x = 10. Ответ: 10.

Задание проверяет решение показательного уравнения с одинаковыми основаниями. При равных основаниях 5 показатели равны: 4x − 5 = 3x − 2. Решая уравнение, получаем x = 3. Ответ: 3.

Проверяется решение иррационального уравнения и проверка области допустимых значений. Возводим обе части в квадрат: √(5x + 10) = 10, значит 5x + 10 = 100. Тогда 5x = 90 и x = 18; подкоренное выражение неотрицательно, а √100 = 10. Ответ: 18.

Проверяется решение линейного уравнения. Раскрываем скобки: 9x + 2 − 12x = −x − 6, то есть −3x + 2 = −x − 6. Переносим слагаемые: 8 = 2x, поэтому x = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет решение показательного уравнения: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

2^−4x−5 : 2^2x+3 = 2^{(−4x−5)−(2x+3)} = 2^−6x−8.

Так как 16 = 2⁴, получаем −6x−8 = 4, откуда x = −2.

Ответ: −2.

Задание проверяет решение квадратных уравнений и выбор большего корня.

Перенесём всё в одну часть: x² + 2x − 24 = 0. Разложим на множители: (x + 6)(x − 4) = 0.

Корни равны −6 и 4; больший из них — 4.

Ответ: 4.