Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется решение иррационального уравнения.

Возведём обе части в квадрат: 17 − 2x = 9. Тогда −2x = −8, поэтому x = 4.

Проверка: √(17 − 2·4) = √9 = 3. Ответ: 4.

Проверяется решение показательного уравнения. Представим обе части как степени с основанием 3: (1/3)^x−5 = 3^−x+5, а справа 9^2x+4 = 3^4x+8. Приравниваем показатели: −x + 5 = 4x + 8, откуда −5x = 3 и x = −0,6.

Ответ: −0,6.

Проверяется решение логарифмического уравнения. По определению логарифма: 2x − 7 = 3³ = 27, поэтому 2x = 34 и x = 17. Проверка области определения: 2·17 − 7 = 27 > 0.

Ответ: 17.

Задание проверяет решение целого уравнения и выбор большего корня. Вынесем x за скобки: x² − 5x = x(x − 5) = 0. Произведение равно нулю, если x = 0 или x = 5. Больший корень — 5. Ответ: 5.

Показательное уравнение решаем, представляя 36 как степень числа 6: 36 = 6².

Тогда 6^4+x = 6², значит 4 + x = 2 и x = −2.

Ответ: −2.

Проверяется решение показательного уравнения: представим 1/49 как степень 1/7.

Имеем 1/49 = (1/7)², поэтому 5x − 8 = 2.

Отсюда 5x = 10 и x = 2.

Ответ: 2.

Проверяется решение показательного уравнения. Число 64 равно 4³, поэтому 4^−9−x = 4³. Приравниваем показатели: −9 − x = 3, откуда x = −12.

Ответ: −12.

В показательном уравнении удобно представить обе части как степени с основанием 3.

(1/3)^(−x−2) = 3^(x+2), а 27^(3x+4) = 3^(9x+12).

При равных основаниях приравниваем показатели: x + 2 = 9x + 12.

Отсюда −10 = 8x и x = −1,25.

Ответ: −1,25.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения с одинаковым основанием. По свойству разности логарифмов log₁,₄(4x + 10) − log₁,₄2 = log₁,₄((4x + 10)/2), поэтому (4x + 10)/2 = 8. Отсюда 4x + 10 = 16 и x = 1,5; аргументы логарифмов положительны. Ответ: 1,5.

Проверяется решение линейного уравнения: нужно раскрыть скобки и собрать слагаемые с x.

10x − 5 = −10x − 9, поэтому 20x = −4 и x = −0,2.

Ответ: −0,2.

Проверяется решение показательного уравнения.

Представим 64 как степень основания 1/4: 64 = (1/4)⁻³. При равных основаниях приравниваем показатели: 3 − x = −3. Отсюда x = 6.

Ответ: 6.

Используем определение квадратного корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Возводим обе части в квадрат: x + 15 = 4, поэтому x = 4 − 15 = −11. Проверка: √(−11 + 15) = √4 = 2.

Ответ: −11.

По теме номера нужно решить квадратное уравнение.

Из x² − 9 = 0 получаем x² = 9, поэтому x = −3 или x = 3.

Нужно указать меньший корень, это −3.

Ответ: −3.

Проверяется умение решать логарифмическое уравнение. По определению логарифма log₃(2x − 5) = 2 равносильно 2x − 5 = 3² = 9. Тогда 2x = 14 и x = 7; аргумент логарифма равен 9 и положителен.

Ответ: 7.

Задание проверяет решение квадратного уравнения и выбор меньшего корня. Из x² = 25 следует x = −5 или x = 5, поскольку квадраты этих чисел равны 25. Меньший корень равен −5.

Ответ: −5

Задание проверяет решение показательного уравнения: при одинаковых основаниях степени равны, если равны их показатели.

5^2x+3 = 5^x+7, поэтому 2x + 3 = x + 7. Отсюда x = 4.

Ответ: 4.

Область допустимых значений: x + 2 > 0.

По свойству логарифмов log₄(x + 2) + log₄3 = log₄(3(x + 2)). Тогда 3(x + 2) = 15.

Получаем x + 2 = 5, откуда x = 3; это значение допустимо.

Ответ: 3.

Задание проверяет решение иррационального уравнения. Область допустимых значений: x > 0, так как √x стоит в знаменателе. Из 1/√x = 1/3 получаем √x = 3, значит x = 9. Ответ: 9.

Проверяется решение целого уравнения и выбор большего корня. Переносим всё в одну часть: x² − 3x = 0, затем раскладываем на множители: x(x − 3) = 0. Корни: 0 и 3; больший из них — 3.

Ответ: 3.

Раскроем квадрат разности и приведём подобные слагаемые.

(3x − 6)² − 9x² = 9x² − 36x + 36 − 9x² = −36x + 36.

Тогда −36x + 36 = 0, откуда x = 1.

Ответ: 1.