Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется вычисление выражения со степенями числа 10. Сначала 2,1 · 10² = 210, а 3,8 · 10³ = 3800. Складываем: 210 + 3800 = 4010. Ответ: 4010.

Проверяется преобразование арифметических корней. Представим 128 как 64 · 2: √128 = 8√2. Тогда (8√2) : √2 = 8. Ответ: 8.

По свойству логарифмов log₇9,8 + log₇35 = log₇(9,8 · 35). Произведение равно 343 = 7³, значит log₇(7³) = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет умножение сопряжённых выражений.

(√14 − 3√2)(√14 + 3√2) = (√14)² − (3√2)² = 14 − 18 = −4.

Ответ: −4.

По свойству логарифма 1 + log₆4 = log₆6 + log₆4 = log₆24.

Тогда 6^log₆24 = 24 по свойству степени и логарифма.

Ответ: 24.

Проверяется свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: log₂a − log₂b = log₂(a/b). Поэтому log₂12 − log₂3 = log₂(12/3) = log₂4 = 2.

Ответ: 2.

Задание проверяет связь логарифма и степени: a^(logₐb) = b.

Значит, 6^(3·log₆2) = (6^(log₆2))³ = 2³ = 8.

Ответ: 8.

Проверяется вычисление логарифмов по определению: log₂ 256 = 8, поскольку 2⁸ = 256, и log₂ 4 = 2, поскольку 2² = 4. Разность равна 8 − 2 = 6. Ответ: 6.

Проверяется применение свойств степени. Представим 4 как 2²: 4¹⁰ = (2²)¹⁰ = 2²⁰. Тогда 4¹⁰ / 2¹¹ = 2²⁰ / 2¹¹ = 2⁹ = 512.

Ответ: 512.

Проверяются свойства степеней и преобразование выражений. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: 2⁷/(2⁵ · 2) = 2⁷/2⁶ = 2¹.

Ответ: 2

Проверяется вычисление логарифма по определению: log₅25 = 2, поскольку 5² = 25.

Тогда log₂(log₅25) = log₂2 = 1.

Ответ: 1.

Задание проверяет связь синуса и косинуса острого угла: sin²α + cos²α = 1. Так как 0° < α < 90°, синус положителен. sin α = √(1 − (√7/4)²) = √(1 − 7/16) = √(9/16) = 3/4 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Задание проверяет свойство логарифмов: logₐx + logₐy = logₐ(xy). Тогда log₆3 + log₆12 = log₆36 = 2, так как 6² = 36.

Ответ: 2.

Задание проверяет вычисление степеней числа 10 и сложение чисел. Сначала находим слагаемые: 7·10³ = 7000, 9·10² = 900, 3·10¹ = 30. Складываем: 7000 + 900 + 30 = 7930. Ответ: 7930.

Задание проверяет свойства логарифма и степени. log₂ 7 — это показатель, в который нужно возвести 2, чтобы получить 7, поэтому 2^(log₂ 7) = 7. Тогда 2^(4 + log₂ 7) = 2⁴ · 7 = 16 · 7 = 112.

Ответ: 112

Задание проверяет связь логарифма и степени.

По определению логарифма log₄ 2 = 1/2, поскольку 4¹ᐟ² = 2.

Тогда 4^(3 log₄ 2) = 4^(3 · 1/2) = 4³ᐟ² = (√4)³ = 8.

Ответ: 8.

Проверяется вычисление выражений с десятичными дробями и степенями числа 10.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: (7,2 · 10²) / (1,2 · 10⁻³) = (7,2 / 1,2) · 10⁽²⁻⁽⁻³⁾⁾ = 6 · 10⁵ = 600000.

Ответ: 600000.

Задание проверяет свойства степеней с целыми показателями.

В числителе 2⁻⁸ · 2⁶ = 2⁻², а знаменатель равен 2⁻⁶.

При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: 2⁻² : 2⁻⁶ = 2⁴ = 16.

Ответ: 16.

Задание проверяет связь логарифма и степени. Так как log₂ 7 — это показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 7, имеем 2^{log₂ 7} = 7. Тогда 2^{log₂ 7 − 2} = 7/2² = 7/4 = 1,75. Ответ: 1,75.

Задание проверяет свойства степеней отрицательного числа: при нечётной степени результат отрицателен, при чётной — положителен. Вычисляем: (−10)⁵ = −100000, (−10)³ = −1000, (−10)² = 100. Сумма равна −100000 − 1000 + 100 = −100900.

Ответ: −100900.