Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Проверяются свойства степеней с одинаковым основанием. 4⁻⁵ · (4² / 4⁻⁴) = 4⁻⁵ · 4⁶ = 4¹ = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет свойство логарифмов: log₄a + log₄b = log₄(ab).

log₄1,6 + log₄40 = log₄(1,6 · 40) = log₄64 = 3, поскольку 4³ = 64.

Ответ: 3.

Проверяется преобразование выражений с арифметическими корнями. По формуле (a − b)(a + b) = a² − b² получаем (√7)² − (3√2)² = 7 − 18 = −11.

Ответ: −11.

Задание проверяет умножение арифметических корней. Используем свойство √a · √b = √(ab) для неотрицательных a и b: √20 · √5 = √100 = 10.

Ответ: 10.

Проверяются свойства степеней и действия с десятичными дробями. Дробь равна (3,6 ÷ 9) · 10³⁻⁽⁻¹⁾ = 0,4 · 10⁴ = 4000.

Ответ: 4000.

Задание проверяет связь синуса и косинуса: sin²α + cos²α = 1.

Так как угол острый, косинус положителен. Тогда cos α = √(1 − (√21/5)²) = √(4/25) = 2/5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Перемножим числа в скобках: (2 · 10⁻²)(1,8 · 10²) = 2 · 1,8 · 10⁻² · 10². Степени десятки сокращаются: 10⁻² · 10² = 1. Получаем 3,6.

Ответ: 3,6.

Сокращаем числовые множители и применяем правило деления степеней: (0,6 · 10²) / (3 · 10⁻²) = (0,6 / 3) · 10²⁻⁽⁻²⁾.

Получаем 0,2 · 10⁴ = 2000.

Ответ: 2000.

Задание проверяет связь синуса и косинуса и знак тангенса в IV четверти. Из cos²α + sin²α = 1 и cos α = 1/√17 получаем |sin α| = 4/√17; в IV четверти sin α < 0, поэтому sin α = −4/√17. Тогда tg α = sin α/cos α = −4.

Ответ: −4

Тема: тождества тригонометрических функций. По определению ctg α = 1/tg α, если tg α определён и не равен нулю.

При α = 87° эти условия выполнены, поэтому tg 87° · ctg 87° = tg 87° · 1/tg 87° = 1.

Ответ: 1.

Задание проверяет преобразование выражения с корнями. При делении корней можно объединить подкоренные числа: √486 / √6 = √(486 / 6) = √81 = 9.

Ответ: 9.

Проверяется свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: logₐx − logₐy = logₐ(x/y).

log₃54 − log₃2 = log₃(54/2) = log₃27 = 3, поскольку 3³ = 27.

Ответ: 3.

Раскроем скобки умножением на √2: (√32 − √2) · √2 = √64 − √4. Так как √64 = 8 и √4 = 2, получаем 8 − 2 = 6.

Ответ: 6.

Проверяется свойство √a · √b = √(ab) для неотрицательных чисел. √10 · √1,6 = √16 = 4.

Ответ: 4.

По основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1, поэтому sin²α = 1 − (2√6/5)² = 1/25.

Угол α находится во II четверти, где синус положителен, значит sin α = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Используем свойство √(a · b) = √a · √b: 6√96 / √6 = 6√(96 / 6) = 6√16 = 6 · 4 = 24.

Ответ: 24.

Проверяется преобразование выражений со степенями и корнями. Возводим в квадрат: (8√3)² = 8² · 3 = 192. Делим: 192 : 48 = 4. Ответ: 4.

Задание проверяет преобразование тригонометрического выражения. Синус угла 450° равен синусу угла 90°, поскольку 450° = 360° + 90°. Поэтому 15 · sin 450° = 15 · 1 = 15.

Ответ: 15.

Задание проверяет свойства логарифма и степени. По определению логарифма log₂17 − 2 = log₂17 − log₂4 = log₂(17/4), поэтому 2^(log₂(17/4)) = 17/4 = 4,25.

Ответ: 4,25

В знаменателе степень степени: (7²)⁻² = 7⁻⁴.

При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: 7⁻³ / 7⁻⁴ = 7^{−3−(−4)} = 7.

Ответ: 7.