Задание 4 ЕГЭ по базовой математике

Длина медианы ${\displaystyle m_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}}$. Найдите медиану ${\displaystyle m_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{6,}b=4\sqrt{2}\text{и}c=10}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S=\frac{a+b}{2}\cdot h,$ где $a$ и $b$ $—$ длины оснований трапеции, $h$ $—$ её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S,$ если $a=\mathrm{4,}$ $b=9$ и $h=2.$

Если ${\displaystyle p_1}$, ${\displaystyle p_2}$ и ${\displaystyle p_3}$ ${\displaystyle —}$ различные простые числа, то сумма всех делителей числа ${\displaystyle p_1\cdot p_2\cdot p_3}$ равна ${\displaystyle \left(p_1+1\right)\left(p_2+1\right)\left(p_3+1\right)}$. Найдите сумму всех делителей числа 110, если ${\displaystyle 110=2\cdot 5\cdot 11}$.

Длина медианы ${\displaystyle m_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}}$. Найдите медиану ${\displaystyle m_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{6,}b=7\text{и}c=11}$.

Площадь треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ можно найти по формуле Герона ${\displaystyle S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}$, где ${\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 10, 17, 21.

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле ${\displaystyle P=I^{2}R}$, где ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle —}$ сила тока (в амперах), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle P}$ (в ваттах), если ${\displaystyle R=2}$ Ом и ${\displaystyle I=\mathrm{8,5}}$ А.

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле ${\displaystyle P=I^{2}R,}$
где ${\displaystyle I}$ — сила тока (в амперах), ${\displaystyle R}$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle R}$ (в омах), если ${\displaystyle P=180}$ Вт и ${\displaystyle I=6}$ А.

Энергия заряженного конденсатора ${\displaystyle W}$ (в Дж) вычисляется по формуле ${\displaystyle W=\frac{C{U}^2}{2}}$, где ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle —}$ ёмкость конденсатора (в Ф), а ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle —}$ разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите ${\displaystyle W}$ (в Дж), если ${\displaystyle C={10}^{-4}\text{Ф}}$ и ${\displaystyle U=8}$ В.

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить
по формуле $R=\frac{a}{2\sin \text{α}}$, где $a$ $—$ сторона, $\text{α}$ $—$ противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите радиус $R$, если $a=10$
и $\sin \text{α}=\frac{1}{3}$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно вычислить по формуле ${\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2},}$ где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — катеты, а ${\displaystyle c}$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите радиус ${\displaystyle r,}$ если ${\displaystyle a=\mathrm{15,}}$ ${\displaystyle b=112}$ и ${\displaystyle c=113.}$

Мощность постоянного тока (в ваттах) можно вычислить по формуле ${\displaystyle P=\frac{U^2}{R},}$ где ${\displaystyle U}$ — напряжение (в вольтах), ${\displaystyle R}$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите мощность постоянного тока ${\displaystyle P}$ (в ваттах), если ${\displaystyle R=6}$ Ом и ${\displaystyle U=18}$ В.

Для определения итоговой суммы вклада без возможности пополнения
и частичного снятия денежных средств в банках используется формула расчёта $S=A\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n,$ где $A$ $—$ первоначальная сумма вклада (в рублях), $p$ $—$ годовая ставка по вкладу (в процентах), $n$ $—$ срок размещения вклада (в годах), $S$ $—$ итоговая сумма вклада (в рублях). Найдите итоговую сумму вклада, если $A=20\mathrm{000,}$ $p=12\%,$ $n=2.$ Ответ дайте в рублях.

Среднее квадратичное трёх чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}}$. Найдите среднее квадратичное чисел ${\displaystyle 2\sqrt{7}}$, 8 и 10.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V=abc$, где $a$, $b$ и $c$ $—$ длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V=70$, $b=5$ и $c=\mathrm{3,5}$.

Если ${\displaystyle p_1}$, ${\displaystyle p_2}$ и ${\displaystyle p_3}$ ${\displaystyle —}$ различные простые числа, то сумма всех делителей числа ${\displaystyle p_1\cdot p_2\cdot p_3}$ равна ${\displaystyle \left(p_1+1\right)\left(p_2+1\right)\left(p_3+1\right)}$. Найдите сумму всех делителей числа ${\displaystyle 102=2\cdot 3\cdot 17}$.

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле ${\displaystyle E=\frac{m{v}^2}{2}}$,
где ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle —}$ масса тела (в килограммах), а ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle —}$ его скорость (в ${\displaystyle \text{м}/\text{с}}$ ). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle E}$ (в джоулях), если ${\displaystyle v=4\text{м}/\text{с}}$ и ${\displaystyle m=10\text{кг}}$.

Закон Гука можно записать в виде ${\displaystyle F=kx}$, где ${\displaystyle F}$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, ${\displaystyle x}$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а ${\displaystyle k}$ — коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle x}$ (в метрах), если ${\displaystyle F=28}$ Н и ${\displaystyle k=4}$ Н/м.

Теорему синусов можно записать в виде $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$, где $a$ и $b$ $—$ две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ $—$ углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину $\sin \alpha ,$ если $a=\mathrm{10,}$ $b=\mathrm{11,}$ $\sin \beta =\frac{22}{25}.$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha ,$ где $b$ и $c$ $—$ две стороны треугольника, а $\alpha$ $—$ угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S,$ если $b=\mathrm{15,}$ $c=14$ и $\sin \alpha =\frac{1}{5}$.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle S=2\left(ab+ac+bc\right)}$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4 и 9.