Задание 4 ЕГЭ по базовой математике

Площадь треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ можно найти по формуле Герона ${\displaystyle S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}$, где ${\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 9, 12, 15.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha ,$ где $b$ и $c$ $—$ две стороны треугольника, а $\alpha$ $—$ угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S,$ если $b=\mathrm{16,}$ $c=15$ и $\sin \alpha =\frac{1}{5}$.

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой ${\displaystyle t_{\text{F}}=\mathrm{1,8}{t}_{\text{C}}+32}$, где ${\displaystyle t_{\text{C}}}$ ${\displaystyle —}$ температура в градусах
по шкале Цельсия, ${\displaystyle t_{\text{F}}}$ ${\displaystyle —}$ температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует ${\displaystyle -8}$ градусов по шкале Цельсия?

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
по формуле $r=\frac{a+b-c}{2},$ где $a$ и $b$ $—$ катеты, $c$ $—$ гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r,$ если $a=\mathrm{17,}$ $b=144$ и $c=145.$

Среднее геометрическое трёх чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle g=\sqrt[3]{abc}}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 12, 72.

Длина биссектрисы ${\displaystyle l_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle l_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{ab\left({\left(a+b\right)}^2-c^2\right)}}$. Найдите биссектрису ${\displaystyle l_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{4,}b=16\text{и}c=5\sqrt{7}}$.

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле ${\displaystyle A=\frac{U^{2}t}{R}}$,
где ${\displaystyle U}$ — напряжение (в вольтах), ${\displaystyle R}$ — сопротивление (в омах), ${\displaystyle t}$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите работу постоянного тока ${\displaystyle A}$ (в джоулях), если ${\displaystyle t=8}$ c, ${\displaystyle U=7}$ В и ${\displaystyle R=4}$ Ом.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
по формуле ${\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle —}$ катеты, а ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle r}$, если ${\displaystyle a=60}$, ${\displaystyle b=221}$ и ${\displaystyle c=229}$.

Длина медианы ${\displaystyle m_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}}$. Найдите медиану ${\displaystyle m_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{7,}b=11\text{и}c=12}$.

Длина медианы ${\displaystyle m_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}}$. Найдите медиану ${\displaystyle m_c}$, если ${\displaystyle a=\sqrt{3},b=\sqrt{7}\text{и}c=4}$.

Среднее геометрическое чисел $a,$ $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g=\sqrt[3]{abc}.$ Вычислите среднее геометрическое чисел 3, 9 и 27.

Если ${\displaystyle p_1}$, ${\displaystyle p_2}$ и ${\displaystyle p_3}$ ${\displaystyle —}$ различные простые числа, то сумма всех делителей числа ${\displaystyle p_1\cdot p_2\cdot p_3}$ равна ${\displaystyle \left(p_1+1\right)\left(p_2+1\right)\left(p_3+1\right)}$. Найдите сумму всех делителей числа ${\displaystyle 70=2\cdot 5\cdot 7}$.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle S=2\left(ab+ac+bc\right)}$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5 и 7.

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или более, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле ${\displaystyle C=150+11\left(t-5\right)}$, где t ${\displaystyle —}$ длительность поездки, выраженная в минутах ${\displaystyle \left(t\ge 5\right)}$. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 20-минутной поездки. Ответ укажите
в рублях.

Энергия заряженного конденсатора ${\displaystyle W}$ (в Дж) вычисляется по формуле ${\displaystyle W=\frac{C{U}^2}{2}}$, где ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle —}$ ёмкость конденсатора (в Ф), а ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle —}$ разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите ${\displaystyle W}$ (в Дж), если ${\displaystyle C={10}^{-4}\text{Ф}}$ и ${\displaystyle U=20}$ В.

Среднее гармоническое трёх чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle h={\left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)}^{-1}}$. Найдите среднее гармоническое чисел ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ и ${\displaystyle \frac{1}{8}}$.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \text{α}}$, где ${\displaystyle d_1}$ и ${\displaystyle d_2}$ ${\displaystyle —}$ длины диагоналей четырёхугольника, ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали ${\displaystyle d_1}$, если ${\displaystyle d_2=16}$, ${\displaystyle \sin \text{α}=\frac{2}{5}}$, a ${\displaystyle S=\mathrm{12,8}}$.

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом
при нагревании, вычисляется по формуле ${\displaystyle Q=cm\left(t_2-t_1\right)}$, где ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ удельная теплоёмкость ${\displaystyle \left(\text{в}\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot \text{К}}\right)}$, ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle —}$ масса тела (в килограммах), ${\displaystyle t_1}$ ${\displaystyle —}$ начальная температура тела (в кельвинах), а ${\displaystyle t_2}$ ${\displaystyle —}$ конечная температура тела (в кельвинах). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle Q}$ (в джоулях), если ${\displaystyle t_2=409}$ К, ${\displaystyle c=450}$ ${\displaystyle \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot \text{К}}}$, ${\displaystyle m=4}$ кг и ${\displaystyle t_1=405}$ К.

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле $E=\frac{m{v}^2}{2}$,
где $m$ $—$ масса тела (в килограммах), а $v$ $—$ его скорость (в $\text{м}/\text{с}$ ). Пользуясь этой формулой, найдите $E$ (в джоулях), если $v=3$ м/с и $m=12$ кг.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
по формуле ${\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle —}$ катеты, а ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle r}$, если ${\displaystyle a=24}$, ${\displaystyle b=143}$ и ${\displaystyle c=145}$.