Задание 4 ЕГЭ по базовой математике

Площадь треугольника вычисляется по формуле ${\displaystyle S=\frac{1}{2}bc\sin \text{α}}$, где ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ две стороны треугольника, а ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \sin \text{α}}$, если ${\displaystyle b=5}$, ${\displaystyle c=6}$ и ${\displaystyle S=6}$.

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить
по формуле $R=\frac{a}{2\sin \text{α}},$ где $a$ $—$ сторона, а $\text{α}$ $—$ противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите $a,$ если $R=9$ и $\sin \text{α}=\frac{1}{3}.$

Рейтинговое агентство определяет рейтинг микроволновых печей на основе средней цены $P$ (в рублях за штуку), а также показателей функциональности $F\text{,}$ качества $Q$ и дизайна $D.$ Рейтинг $R$ вычисляется по формуле

$R=8\left(F+Q\right)+4D-\mathrm{0,01}P.$

В таблице даны цены и показатели четырёх моделей микроволновых печей.

Найдите наименьший рейтинг микроволновой печи из представленных
в таблице моделей.

Теорему косинусов можно записать в виде ${\displaystyle \cos \text{α=}\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — стороны треугольника, а ${\displaystyle \text{α}}$ — угол между сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \cos \text{α}}$, если ${\displaystyle a=5}$, ${\displaystyle b=8}$ и ${\displaystyle c=9}$.

Среднее гармоническое трёх чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle h={\left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)}^{-1}}$. Найдите среднее гармоническое чисел ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, ${\displaystyle \frac{1}{11}}$ и 1.

Для определения итоговой суммы вклада без возможности пополнения
и частичного снятия денежных средств в банках используется формула расчёта $S=A\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n,$ где $A$ $—$ первоначальная сумма вклада (в рублях), $p$ $—$ годовая ставка по вкладу (в процентах), $n$ $—$ срок размещения вклада (в годах), $S$ $—$ итоговая сумма вклада (в рублях). Найдите итоговую сумму вклада, если $A=40\mathrm{000,}$ $p=12\%,$ $n=2.$ Ответ дайте в рублях.

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W=\frac{C{U}^2}{2}$, где $C$ $—$ ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ $—$ разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите $W$ (в Дж), если $C=2\cdot {10}^{-4}\text{Ф}$ и $U=15$ В.

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить
по формуле $R=\frac{a}{2\sin \text{α}},$ где $a$ $—$ сторона, а $\text{α}$ $—$ противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите $a,$ если $R=10$ и $\sin \text{α}=\frac{3}{20}.$

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи
её поверхности вычисляется по формуле $E=mgh,$ где $m$ $—$ масса тела
(в килограммах), $g$ $—$ ускорение свободного падения (в м/с ${}^2$ ), а $h$ $—$ высота
(в метрах), на которой находится это тело относительно поверхности. Пользуясь этой формулой, найдите $m$ (в килограммах), если $g=\mathrm{9,8}$ м/с ${}^2\text{},$ $h=\mathrm{0,5}$ м, а $E=49$ Дж.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{abc}{4R}}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$
и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ стороны треугольника, а ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь ${\displaystyle S}$, если ${\displaystyle a=11}$, ${\displaystyle b=25}$, ${\displaystyle c=30}$ и ${\displaystyle R=\frac{125}{8}}$.

Рейтинговое агентство определяет рейтинг микроволновых печей на основе средней цены $P$ (в рублях за штуку), а также показателей функциональности $F\text{,}$ качества $Q$ и дизайна $D.$ Рейтинг $R$ вычисляется по формуле

$R=8\left(F+Q\right)+4D-\mathrm{0,01}P.$

В таблице даны цены и показатели четырёх моделей микроволновых печей.

Найдите наименьший рейтинг микроволновой печи из представленных
в таблице моделей.

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ $—$ различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1\cdot p_2\cdot p_3$ равна $\left(p_1+1\right)\left(p_2+1\right)\left(p_3+1\right).$ Найдите сумму всех делителей числа $114=2\cdot 3\cdot 19.$

Площадь трапеции можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{a+b}{2}\cdot h}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — основания трапеции, ${\displaystyle h}$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь трапеции ${\displaystyle S,}$ если ${\displaystyle a=\mathrm{8,}}$ ${\displaystyle b=12}$ и ${\displaystyle h=10.}$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S=\frac{\left(a+b+c\right)r}{2}$, где $a,$ $b$ и $c$ $—$ стороны треугольника, а $r$ $—$ радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой формулой, найдите $b,$ если $a=\mathrm{7,}$ $c=\mathrm{9,}$ $S=14\sqrt{5}$ и $r=\sqrt{5}.$

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},$ где $a,$ $b$
и $c$ $—$ стороны треугольника, а $\gamma$ $—$ угол между сторонами $a$ и $b.$ Пользуясь этой формулой, найдите значение $\cos \gamma ,$ если $a=\mathrm{7,}$ $b=10$ и $c=11.$

Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг мясорубок
на основе средней цены $P$ (в рублях за штуку), показателей функциональности $F\text{}\text{,}$ качества $Q$ и дизайна $D\text{}.$ Рейтинг $R$ вычисляется
по формуле

$R=4\left(2F+2Q+D\right)-\mathrm{0,01}P\text{}.$

В таблице даны цены и показатели четырёх моделей мясорубок.

Найдите наивысший рейтинг мясорубки из представленных в таблице моделей.

Энергия заряженного конденсатора ${\displaystyle W}$ (в Дж) вычисляется по формуле ${\displaystyle W=\frac{C{U}^2}{2}}$, где ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle —}$ ёмкость конденсатора (в Ф), а ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle —}$ разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите ${\displaystyle W}$ (в Дж), если ${\displaystyle C={10}^{-4}\text{Ф}}$ и ${\displaystyle U=10}$ В.

Теорему синусов можно записать в виде ${\displaystyle \frac{a}{\sin \text{α}}=\frac{b}{\sin \text{β}},}$ где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — две стороны треугольника, ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle \text{β}}$ — углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \sin \text{α}\text{,}}$ если ${\displaystyle a=\mathrm{27,}}$ ${\displaystyle b=\mathrm{20,}}$ ${\displaystyle \sin \text{β}=\frac{2}{3}.}$

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно вычислить по формуле ${\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2},}$ где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — катеты, а ${\displaystyle c}$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите радиус ${\displaystyle r,}$ если ${\displaystyle a=\mathrm{20,}}$ ${\displaystyle b=99}$ и ${\displaystyle c=101.}$

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой ${\displaystyle t_{\text{F}}=\mathrm{1,8}{t}_{\text{C}}+32}$, где ${\displaystyle t_{\text{C}}}$ — температура в градусах по шкале Цельсия, ${\displaystyle t_{\text{F}}}$ — температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует ${\displaystyle -10}$ градусов по шкале Цельсия?