Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию — высота. AM = 104 : 2 = 52, BM = √(65² − 52²) = √(4225 − 2704) = √1521 = 39.

Ответ: 39.

Угол C опирается на диаметр, поэтому он прямой. AB = 6, BC = √(36 − 20) = √16 = 4.

Ответ: 4.

BC = √(AB² − AC²) = √(16 − 7) = 3. cos B = BC : AB = 3 : 4 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Высота к основанию делит его пополам: √(17² − 8²) = √225 = 15. S = 16 · 15 : 2 = 120.

Ответ: 120.

Проверяется: отношение площадей треугольников.

У треугольников ABC и MBK угол при B общий, поэтому отношение площадей равно произведению отношений прилежащих сторон: (BM/BA) · (BK/BC) = 1/2 · 5/6 = 5/12.

Значит, площадь ABC больше площади MBK в 12/5 = 2,4 раза.

Ответ: 2,4.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Угол 150° даёт острый угол 30° между боковой стороной длиной 6 и основанием, поэтому высота равна 6 · sin 30° = 3. Тогда площадь равна ((8 + 16) : 2) · 3 = 36.

Ответ: 36.

Проверяется свойство радиусов, проведённых к точкам касания: они перпендикулярны касательным. Четырёхугольник CAOB имеет два прямых угла при A и B, поэтому ∠AOB + ∠ACB = 180°. Следовательно, ∠AOB = 180° − 113° = 67°.

Ответ: 67.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и синуса острого угла.

Углы при основании равны: каждый равен (180° − 120°)/2 = 30°. Высота BK образует прямоугольный треугольник с боковой стороной l, причём BK = l · sin 30°.

Так как sin 30° = 1/2, имеем 38 = l/2, откуда l = 76. Ответ: 76.

Проверяется связь углов равнобедренного треугольника и теорема Пифагора. Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Медиана к основанию является высотой, поэтому в прямоугольном треугольнике ABM угол A равен 30°, а BM = 37 — противолежащий катет. Гипотенуза AB вдвое больше этого катета: AB = 74.

Ответ: 74.

Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну хорду AD, поэтому ∠ACD = 38°.

В треугольнике ACD третий угол равен ∠ADC = 180° − 54° − 38° = 88°.

Противоположные углы вписанного четырёхугольника supplementary: ∠ABC = 180° − 88° = 92°.

Ответ: 92°.

Задание проверяет связь между длиной дуги и центральным углом, а также свойство вписанного угла. Дуга составляет 1/36 окружности, значит, соответствующий центральный угол равен 360° / 36 = 10°. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое меньше: 10° / 2 = 5°. Ответ: 5.

Проверяется нахождение площади трапеции. Высота равна 4 · sin 150° = 2. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (9 + 15) / 2 · 2 = 24.

Ответ: 24.

Радиусы OA и OB перпендикулярны сторонам угла в точках касания. Поэтому в четырёхугольнике AOCB углы при A и B прямые, а угол при C равен 83°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, значит, ∠AOB=360°−90°−90°−83°=97°. Ответ: 97.

Задание проверяет применение тангенса угла в прямоугольном треугольнике и формулы площади прямоугольника. В треугольнике ACD tg∠CAD = CD/AD = 3/25, а AD = BC = 75, поэтому CD = 9. Площадь прямоугольника равна BC · CD = 75 · 9 = 675.

Ответ: 675.

Задание проверяет планиметрию и теорему о биссектрисе. Так как BM — медиана, AM = MC; поскольку BM также делит угол B пополам, по теореме о биссектрисе AB/BC = AM/MC = 1, значит, AB = BC. В равнобедренном треугольнике BM — высота, поэтому треугольник ABM прямоугольный, а угол ABM равен 60°; cos 60° = BM/AB = 1/2. Следовательно, AB = 27 · 2 = 54.

Ответ: 54.

Проверяется свойство вписанного угла и центральных углов правильного восьмиугольника. Дуга AF, не содержащая D, проходит через вершины G и H и охватывает три стороны восьмиугольника, поэтому её центральный угол равен 3 · (360° / 8) = 135°. Вписанный угол ADF равен половине этой дуги: 135° / 2 = 67,5°. Ответ: 67,5.

Задание проверяет свойства медиан треугольника. Медианы параллелограмма пересекаются в точке K, где AM пересекает диагональ BD; на диагонали эта точка делит BD в отношении BK:KD = 1:2.

Значит, BK = BD/3 = 18/3 = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет свойства углов и сторон прямоугольного треугольника.

Внутренний и внешний углы при вершине A в сумме дают 180°, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°.

Катет BC лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы: BC = AB/2 = 8/2 = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет определение синуса и теорему Пифагора. Сторона AB — гипотенуза, поэтому sin A = BC/AB и BC = 17 · 15/17 = 15. По теореме Пифагора AC = √(AB² − BC²) = √(289 − 225) = 8. Ответ: 8.