Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет связь вписанного угла с дугой, на которую он опирается.
Градусная мера дуги составляет ту же долю от 360°, что её длина от длины окружности: 360° · 11/36 = 110°.
Вписанный угол равен половине градусной меры этой дуги: 110°/2 = 55°.
Ответ: 55.
Площадь прямоугольника равна 300, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет формулу площади прямоугольника и вычисление тангенса угла между диагональю и стороной.
Из равенства S = AB · AD получаем AD = 300/9 = 100/3 ед.
В прямоугольном треугольнике ACD катет CD = AB = 9 ед.
Поэтому tg ∠CAD = CD/AD = 9/(100/3) = 27/100 = 0,27.
Ответ: 0,27.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Проверяются свойства параллелограмма и диагоналей. Если обе диагонали являются биссектрисами углов параллелограмма, то он — ромб, поэтому все его стороны равны 50. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам; половины диагоналей вместе со стороной образуют прямоугольный треугольник.
Половина AC равна 14. По теореме Пифагора половина BD равна √(50² − 14²) = 48, значит BD = 2 · 48 = 96.
Ответ: 96.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В равнобедренном треугольнике основание , высота , проведённая к основанию, равна 14. Точка середина стороны . Найдите длину отрезка .
Проверяется свойство высоты, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, и теорема о средней линии. Высота BK делит основание AC пополам, поэтому KC = 96 / 2 = 48. В треугольнике BKC точка P — середина BC, а K — середина KC; отрезок KP — средняя линия, поэтому KP = BC / 2. По теореме Пифагора BC = √(48² + 14²) = 50, следовательно, KP = 25. Ответ: 25.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет связь угла между касательными с центральным углом между радиусами к точкам касания. Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике CAOB углы при A и B равны 90°. Тогда ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 81° = 99°.
Ответ: 99.
| В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. |
|
Задание проверяет свойства углов треугольника и биссектрисы. Так как ∠ALC = 150°, смежный угол ∠ALB равен 30°. Обозначим ∠BAL = ∠LAC = x; тогда в треугольнике ABL угол B равен 150° − x, а в треугольнике ABC угол A равен 2x и угол C — 180° − 127° − 2x. Из равенства углов при вершине B: 150° − x = 127°, значит x = 23°, и ∠C = 180° − 127° − 46° = 7°. Ответ: 7.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите длину стороны |
|
В прямоугольном треугольнике sin A — это отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB. Поэтому BC = 26 · 5/13 = 10. По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 26² − 10² = 576, значит, AC = 24.
Ответ: 24.
В треугольнике стороны и равны. Внешний угол при вершине равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства углов равнобедренного треугольника и внешнего угла.
Внутренний и смежный с ним внешний угол в сумме дают 180°, поэтому ∠B = 180° − 134° = 46°.
Так как AC = BC, углы при основании AB равны: ∠A = ∠B = 46°.
По сумме углов треугольника ∠C = 180° − 46° − 46° = 88°.
Ответ: 88.
В равнобедренном треугольнике
с основанием медиана
отрезок , соединяющий середины боковых сторон, равен 24. Найдите боковую сторону
Задание проверяет свойства средней линии и медианы равнобедренного треугольника.
Средняя линия MN равна половине основания AC, поэтому AC = 2 · 24 = 48.
Медиана BK делит основание пополам и является высотой, значит AK = 24 и ∠AKB = 90°.
По теореме Пифагора AB = √(24² + 10²) = √676 = 26.
Ответ: 26.
| На стороне прямоугольника , у которого и , отмечена точка так, что треугольник равнобедренный. Найдите . |
|
Задание проверяет прямоугольные треугольники и теорему Пифагора. Треугольник ABE прямоугольный при B и равнобедренный, значит, BE = AB = 12. Поскольку BC = AD = 17, получаем EC = 17 − 12 = 5; также CD = AB = 12. Тогда ED = √(5² + 12²) = 13.
Ответ: 13.
Площадь прямоугольника равна 32, сторона . Найдите тангенс угла .
Проверяется нахождение тангенса угла по сторонам прямоугольника. Из площади 32 и стороны BC = 8 получаем AB = 32/8 = 4. В прямоугольном треугольнике ACD тангенс угла CAD равен CD/AD = 8/4 = 2? Однако по рисунку угол CAD образован диагональю AC и стороной AD, поэтому tg(CAD) = CD/AD; для прямоугольника CD = AB = 4, AD = BC = 8. Следовательно, tg(CAD) = 4/8 = 0,5.
Ответ: 0,5
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 7, а . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет площадь треугольника и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Высота BM делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника, поэтому tg A = BM/AM. Тогда AM = 7/1,4 = 5, а AC = 2 · 5 = 10. Площадь равна AC · BM/2 = 10 · 7/2 = 35.
Ответ: 35.
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
Прямые и параллельны (см. рисунок). Найдите , если , . Ответ дайте в градусах.
Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.
Проверяется применение теоремы Пифагора. В равнобедренной трапеции разность оснований 92 − 62 = 30, значит проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 15. Высота равна √(39² − 15²) = 36. Горизонтальная проекция диагонали равна 62 + 15 = 77, поэтому её длина равна √(77² + 36²) = 85.
Ответ: 85.
В равнобедренном треугольнике угол равен . Высота , проведённая к основанию, равна 24. Найдите боковую сторону .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и косинус острого угла.
Высота BK, проведённая к основанию, является также биссектрисой, поэтому ∠ABK = 120°/2 = 60°.
В прямоугольном треугольнике ABK: cos 60° = BK/AB = 1/2.
Следовательно, AB = 24 : (1/2) = 48 ед. длины.
Ответ: 48.
Основания трапеции равны 10 и 22, боковая сторона, равная 9, образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.
Задание проверяет площадь трапеции и тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике.
Высота трапеции равна вертикальной составляющей боковой стороны: h = 9 · sin 150° = 9 · 1/2 = 4,5.
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (10 + 22) · 4,5 / 2 = 72.
Ответ: 72
В треугольнике медиана перпендикулярна . Найдите , если , .
Задание проверяет свойства медианы и применение теоремы Пифагора.
Медиана BM делит сторону AC пополам, поэтому AM = 198/2 = 99.
Поскольку BM перпендикулярна AC, треугольник ABM прямоугольный.
По теореме Пифагора AB = √(99² + 20²) = √10201 = 101.
Ответ: 101.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется свойство центра окружности, вписанной в угол: он лежит на биссектрисе, а радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам угла. Угол между двумя такими радиусами равен 180° минус угол при вершине угла. Получаем 180° − 118° = 62°.
Ответ: 62.
В прямоугольнике сторона равна 22, . Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Для угла CAD: tg∠CAD = CD/AD = AB/AD = 0,55. Поэтому AD = 22/0,55 = 40, а площадь прямоугольника равна 22 · 40 = 880.
Ответ: 880.
