Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
| В треугольнике медиана перпендикулярна Найдите |
|
Задание проверяет определение медианы и применение теоремы Пифагора.
Медиана делит противоположную сторону пополам, поэтому AM = AC / 2 = 120 / 2 = 60 ед.
Поскольку BM перпендикулярна AC, треугольник ABM прямоугольный, а AB — его гипотенуза.
По теореме Пифагора AB = √(60² + 25²) = √4225 = 65 ед.
Ответ: 65.
Сумма двух углов ромба равна а его меньшая диагональ равна 15. Найдите периметр ромба.
Задание проверяет свойства углов и диагоналей ромба. Сумма двух углов 240° означает, что это два угла по 120°; остальные два угла равны по 60°.
Меньшая диагональ лежит напротив острых углов и делит их пополам. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной стороне ромба, и катетом 15/2 напротив угла 30°. Поэтому сторона ромба равна 15, а периметр — 4 · 15 = 60.
Ответ: 60.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Катет . Найдите гипотенузу .
Задание проверяет свойство внешнего угла и катета, лежащего напротив угла 30°.
Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°.
Катет BC лежит напротив этого угла и равен половине гипотенузы AB.
Следовательно, AB = 2 · 19 = 38 ед.
Ответ: 38.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В прямоугольнике одна из сторон равна 40, а диагональ равна 41. Найдите площадь этого прямоугольника.
Задание проверяет теорему Пифагора и формулу площади прямоугольника. Вторая сторона равна √(41² − 40²) = √81 = 9.
Площадь равна произведению сторон: 40 · 9 = 360.
Ответ: 360.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет связь между дугой окружности и вписанным углом. Дуга длиной в 1/3 окружности соответствует центральному углу 360° : 3 = 120°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше: 120° : 2 = 60°.
Ответ: 60.
| Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна , а один из катетов равен 2. |
|
Площадь прямоугольного треугольника находим как половину произведения катетов. По теореме Пифагора второй катет равен √((√29)² − 2²) = √25 = 5. Тогда площадь равна 2 · 5 / 2 = 5. Ответ: 5.
На окружности радиуса 12 отмечена точка Отрезок диаметр окружности, Найдите
Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90° (теорема Фалеса), а радиус равен 12, поэтому AB = 24. Тогда sin∠ABC = AC/AB = 15/24 = 0,625.
Ответ: 0,625.
| Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 24, боковая сторона равна 25. Найдите высоту трапеции. |
|
Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и теорему Пифагора. Разность оснований равна 24 − 10 = 14, поэтому выступ каждой боковой стороны равен 14 : 2 = 7.
Высота вместе с выступом и боковой стороной образует прямоугольный треугольник. Тогда h² = 25² − 7² = 576, откуда h = 24.
Ответ: 24.
| Одна из диагоналей ромба равна 6, а его площадь равна 24. Найдите сторону ромба. |
|
Задание проверяет формулу площади ромба через диагонали и теорему Пифагора. Вторая диагональ равна 2 · 24 / 6 = 8.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4: √(3² + 4²) = 5.
Ответ: 5.
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 22, а . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет площадь равнобедренного треугольника и тангенс острого угла. Высота к основанию делит его пополам, а в получившемся прямоугольном треугольнике tg A = BM/AM = 1,1.
Тогда AM = 22/1,1 = 20, а основание AC = 2 · 20 = 40. Площадь равна AC · BM/2 = 40 · 22/2 = 440.
Ответ: 440.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего
и далее по часовой стрелке, равны 7, 11 и 13. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Проверяется связь периметров прямоугольников при разбиении на четыре части. Обозначим ширины левой и правой частей через a и b, а высоты верхней и нижней через c и d. Периметры противоположных прямоугольников в сумме равны периметрам другой пары: 7 + 13 = 11 + P. Поэтому P = 9.
Ответ: 9.
В прямоугольнике одна из сторон равна 21, а диагональ
равна 29. Найдите площадь этого прямоугольника.
Проверяется применение теоремы Пифагора и вычисление площади прямоугольника. Вторая сторона равна √(29² − 21²) = √400 = 20.
Площадь равна произведению сторон: 21 · 20 = 420.
Ответ: 420.
| В треугольнике известно, что Найдите длину медианы |
|
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы.
Поскольку AB = BC, медиана BM к основанию AC делит его пополам: AM = 10 : 2 = 5.
В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора: BM² = 13² − 5² = 144, значит, BM = 12.
Ответ: 12.
На окружности радиуса 20 отмечена точка . Отрезок диаметр окружности, . Найдите .
Задание проверяет теорему о вписанном угле, опирающемся на диаметр, и косинус в прямоугольном треугольнике. Поскольку AB — диаметр окружности радиуса 20, AB = 40, а угол ACB прямой. Тогда cos ∠BAC = AC/AB = 4/40 = 0,1.
Ответ: 0,1.
| Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен а площадь квадрата равна 36. |
|
Проверяется: площадь ромба и квадрата с равными сторонами.
Площадь квадрата равна 36, поэтому его сторона равна √36 = 6. Площадь ромба вычисляется по формуле S = a² · sin α: S = 6² · sin 30° = 36 · 1/2 = 18.
Ответ: 18.
Площадь прямоугольного треугольника 96. Один
из катетов 12. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Проверяется связь площади прямоугольного треугольника с катетами и применение теоремы Пифагора.
Площадь равна половине произведения катетов, поэтому второй катет равен 2 · 96/12 = 16.
Гипотенуза равна √(12² + 16²) = √400 = 20.
Ответ: 20.
| Колесо имеет 18 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла |
|
Задание проверяет деление полного угла на равные части.
Вокруг центра колеса сумма углов равна 360°. Между 18 соседними спицами образуются равные углы, поэтому величина каждого равна 360° : 18 = 20°.
Ответ: 20.
Площадь прямоугольника равна 108, а одна из сторон равна 12. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.
Задание проверяет свойства прямоугольника и нахождение диагонали по теореме Пифагора. Вторая сторона равна 108 : 12 = 9. Тогда диагональ равна √(12² + 9²) = √225 = 15.
Ответ: 15.
В трапеции известно, что , и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется: свойства равнобедренной трапеции и сумма углов треугольника.
Из AB = CD следует, что трапеция равнобедренная, поэтому углы при основании AD равны: ∠BAD = ∠CDA. В треугольнике BCD угол BCD равен 180° − 109° − 10° = 61°. Поскольку BC параллельна AD, внутренние односторонние углы при секущей CD дополняют друг друга до 180°: ∠CDA = 180° − 61° = 119°.
Тогда ∠BAD = 119°. В треугольнике ABD получаем ∠ABD = 180° − 119° − 10° = 51°.
Ответ: 51.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Задание проверяет свойства параллелограмма и его диагоналей. Если диагональ биссектрисa угла параллелограмма, то соседние стороны равны, значит, это ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам, поэтому половины диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник.
Половина диагонали AC равна 16, сторона AB равна 34. Половина BD равна √(34² − 16²) = √900 = 30, следовательно, BD = 2 · 30 = 60.
Ответ: 60.
