Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет площадь треугольника и значение синуса угла. Рисунок показывает, что равные боковые стороны — AB и BC, поэтому AC — основание, а ∠A и ∠C равны. При sin A = 3/5 получаем cos A = 4/5, значит sin C = 3/5. Площадь равна 1/2·AB·BC·sin B; поскольку B = 180° − 2A, sin B = 2·sin A·cos A = 24/25. Тогда площадь равна 1/2·25·25·24/25 = 300.

Задание проверяет свойства медианы и биссектрисы треугольника. Так как BM — медиана и биссектриса, треугольники ABM и CBM равны, поэтому AB = BC = x. По теореме косинусов при угле B = 120° получаем AC² = x² + x² − 2x² · cos 120° = 3x². Для медианы BM² = (2AB² + 2BC² − AC²)/4, поэтому 26² = x²/4 и x = 52. Ответ: 52.

Задание проверяет свойства медианы и средней линии треугольника. Средняя линия MN равна половине основания AC, значит AC = 2·30 = 60. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и делит основание пополам, поэтому AK = 30. По теореме Пифагора AB = √(16² + 30²) = √1156 = 34.

Ответ: 34

Задание проверяет площадь прямоугольника и теорему Пифагора. Вторая сторона равна 12 / 4 = 3. Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, поэтому она равна √(3² + 4²) = 5.

Ответ: 5.

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из их суммы 120° получаем ∠A = ∠C = 60°. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, значит, все его стороны равны. Следовательно, BD = AB = 13. Ответ: 13.

Задание проверяет формулы площадей квадрата и ромба.

Площадь квадрата равна a² = 16, где a — общая длина сторон квадрата и ромба.

Площадь ромба вычисляется по формуле S = a² · sin α.

При α = 30° получаем S = 16 · 0,5 = 8 квадратных единиц.

Ответ: 8.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и смежных углов. Внутренний угол B смежный с данным внешним углом, поэтому ∠B = 180° − 115° = 65°. Так как AC = BC, углы при основании AB равны: ∠A = ∠B = 65°. По сумме углов треугольника ∠C = 180° − 65° − 65° = 50°. Ответ: 50.

Задание проверяет тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. Так как cos A = 0,8 = 4/5, а BC — противолежащий катет к углу A, то sin A = 0,6 = 3/5 и AB = BC / sin A = 20 / 0,6 = 100/3. Высота CH к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: AC = 0,8 · AB = 80/3, поэтому CH = AC · BC / AB = 16. Ответ: 16.

Задание проверяет среднюю линию треугольника и теорему Пифагора. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон, поэтому он равен половине основания AC: AC = 2 · 12 = 24.

Медиана BK к основанию равнобедренного треугольника является высотой и делит основание пополам, значит AK = 12. Тогда AB² = BK² + AK² = 9² + 12² = 225, откуда AB = 15.

Ответ: 15.

Задание проверяет теорему Пифагора и формулу средней линии трапеции.

Опустим из C перпендикуляр CH на основание AD: CH = AB = 12, AH = BC = 13.

В прямоугольном треугольнике CHD получаем HD = √(13² − 12²) = 5.

По рисунку H лежит между A и D, поэтому AD = 13 + 5 = 18.

Средняя линия равна полусумме оснований: (13 + 18)/2 = 15,5.

Ответ: 15,5.

Проверяется свойство биссектрисы угла параллелограмма. Из периметра 46 и стороны AB = 9 получаем BC = 46 / 2 − 9 = 14. Биссектриса угла A пересекает BC так, что BK = AB = 9, поэтому KC = BC − BK = 14 − 9 = 5.

Ответ: 5.

Задание проверяет свойства вписанных углов. Углы CBD и CAD опираются на одну дугу CD, поэтому ∠CBD = ∠CAD = 80°. Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC. Следовательно, ∠ABD = 132° − 80° = 52°. Ответ: 52.

Проверяются свойства равнобедренного треугольника и теорема Пифагора. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны 20, а AC = 24; высота из B делит основание пополам, получаем отрезок длиной 12. Высота равна √(20² − 12²) = 16, поэтому sin ∠BAC = 16/20 = 0,8.

Ответ: 0,8.

Задание проверяет свойства углов треугольника и биссектрисы.

Внутренние углы при A и C смежны с внешними углами 150°, поэтому каждый равен 30°, а угол B равен 120°. Так как углы при основании равны, AB = BC = 42.

Биссектриса делит угол B пополам. В прямоугольном треугольнике ABK: BK = 42 · cos 60° = 21.

Ответ: 21.

Проверяется вычисление площадей треугольника и трапеции. Высота трапеции равна 2 · 35 / (4 + 1) = 14. Треугольник ABC имеет основание BC = 1 и ту же высоту, поэтому его площадь равна 1 · 14 / 2 = 7.

Ответ: 7.

Задание проверяет вычисление тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

Сторона AD равна BC, то есть 15. Другая сторона AB равна 180 : 15 = 12; в прямоугольнике CD = AB = 12. Для угла CAD тангенс равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему AD: 12 : 15 = 0,8.

Ответ: 0,8

Задание проверяет углы правильного многоугольника и вписанные углы. В правильном десятиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен 360° / 10 = 36°. Угол CAH опирается на дугу CH, не содержащую точку A; эта дуга охватывает пять сторон, то есть 5 · 36° = 180°. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ∠CAH = 90°.

Ответ: 90.

Проверяется нахождение площади равнобедренного треугольника через высоту и основание. Высота к основанию делит его пополам, поэтому половина основания равна √(17² − 8²) = √225 = 15.

Основание равно 30, а площадь равна половине произведения основания на высоту: S = 30 · 8 / 2 = 120.

Ответ: 120.

Проверяется нахождение площади трапеции по основаниям и высоте. Высота равна 8 · sin 150° = 4. Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту: (4 + 10) : 2 · 4 = 28.

Ответ: 28.

Задание проверяет свойства медианы в равнобедренном треугольнике и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный, а tg A = BM/AM = 20/21. Значит, AM = 21. По теореме Пифагора боковая сторона AB = √(20² + 21²) = √841 = 29. Ответ: 29.