Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию делит его пополам и является высотой. Тогда половина основания равна √(26² − 10²) = 24, а всё основание — 48.

MN соединяет середины боковых сторон, поэтому это средняя линия: MN = 48 / 2 = 24.

Ответ: 24.

Проверяется площадь трапеции и нахождение высоты по синусу угла. Высота равна 8 · sin 150° = 4. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ((9 + 19) / 2) · 4 = 56.

Ответ: 56.

Проверяется прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Поскольку AB — диаметр, угол ACB прямой. Радиус равен 11, значит AB = 22, а AC = 11.

Для угла ABC синус равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB: sin(ABC) = 11/22 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Проверяется отношение площадей треугольников с общей высотой. Так как BM — медиана, AM = MC, поэтому площадь ABM составляет половину площади ABC. Точка K лежит на AB, причём AK = AB / 4; у треугольников AMK и ABM высоты к AB одинаковы, поэтому S(AMK) = S(ABM) / 4. Следовательно, S(ABC) = 4 · 2 · 4 = 32.

Ответ: 32.

Задание проверяет площадь трапеции и синус угла в прямоугольном треугольнике. Высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны: h = 12 · sin 150° = 6.

Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (7 + 15) · 6 / 2 = 66.

Ответ: 66.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и средней линии. BK — медиана к основанию AC, поэтому K — его середина; в прямоугольном треугольнике BKC получаем KC = √(17² − 8²) = 15. Значит, AC = 2 · 15 = 30. MN соединяет середины боковых сторон, поэтому MN = AC / 2 = 15.

Ответ: 15.

Внешний угол при A равен 150°, значит внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. По рисунку прямой угол находится при C, поэтому BC — катет, противолежащий углу A, а AB — гипотенуза.

sin 30° = BC / AB = 1/2. Следовательно, AB = 20 / (1/2) = 40.

Ответ: 40.

Проверяется связь медианы с основанием равнобедренного треугольника и теорема косинусов. Медиана к основанию является высотой, поэтому половина основания равна √(10² − (√51)²) = √49 = 7. Тогда основание равно 14, а cos ∠BAC = (10² + 14² − 10²) / (2 · 10 · 14) = 0,7.

Ответ: 0,7.

Проверяются свойства равнобедренного треугольника и косинус острого угла. Высота к основанию делит угол при вершине пополам, поэтому ∠ABK = 120° / 2 = 60°. В прямоугольном треугольнике ABK: cos 60° = BK / AB = 25 / AB, откуда AB = 25 / 0,5 = 50.

Ответ: 50.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и тригонометрию в прямоугольном треугольнике.

По рисунку AB = BC; проведём высоту BH к основанию AC, которая делит основание пополам.

В прямоугольном треугольнике ABH: BH = AB · sin A = 50 · 7/25 = 14.

По теореме Пифагора AH = √(50² − 14²) = √2304 = 48, поэтому AC = 96.

Площадь S = AC · BH / 2 = 96 · 14 / 2 = 672 квадратных единицы.

Ответ: 672.

Задание проверяет свойства медианы и высоты и теорему Пифагора. Медиана делит AC пополам, поэтому MC = 96 / 2 = 48. По условию BM = BC, а высота BH делит треугольник BMC на прямоугольные треугольники BHM и BHC; равенство их гипотенуз даёт HM = HC. Так как M лежит между A и H, AH = AM + MH = 48 + (48 / 2) = 72.

Ответ: 72.

Проверяется сумма углов треугольника и свойство биссектрисы. Обозначим угол BAL через x; так как AL — биссектриса, угол A равен 2x. В треугольнике ALC угол ACL равен 180° − 37° − x, а это угол ACB.

Сумма углов ABC, BAC и ACB равна 180°: 25° + 2x + (180° − 37° − x) = 180°, откуда x = 12°. Тогда угол ACB равен 180° − 37° − 12° = 131°.

Ответ: 131.

Задание проверяет тригонометрическое отношение в прямоугольном треугольнике и теорему Пифагора. Из sin A = BC / AB = 0,4 получаем AB = 10 / 0,4 = 25.

Тогда AC = √(25² − 10²) = √525 = 5√21. Высота CH делит гипотенузу так, что BH = BC² / AB, поэтому BH = 10² / 25 = 4.

Ответ: 4.

Площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. По клеткам радиус внешнего круга в 3 раза больше радиуса внутреннего, значит площадь внешнего круга в 9 раз больше.

Заштрихованная площадь равна площади внешнего круга минус площадь внутреннего: 9 · 1 − 1 = 8.

Ответ: 8.

Задание проверяет свойства равнобедренных треугольников и сумму углов четырёхугольника. В треугольнике ABC углы при основании равны: ∠BAC = (180° − 59°) / 2 = 60,5°. В треугольнике ACD углы при основании равны: ∠CAD = (180° − 147°) / 2 = 16,5°. Тогда ∠A = 60,5° + 16,5° = 77°.

Ответ: 77.

Проверяется связь площади прямоугольника с его сторонами и определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике. Вторая сторона равна 300 / 25 = 12. В треугольнике ACD тангенс угла CAD равен CD / AD = 25 / 12.

Ответ: 0,48.

Проверяются свойства диагоналей ромба и синус угла в прямоугольном треугольнике. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам, поэтому половины диагоналей равны 2√6 и 1. В прямоугольном треугольнике с катетами 2√6 и 1 гипотенуза равна √(24 + 1) = 5.

Диагональ AC делит угол A пополам, а для угла BAC синус равен отношению половины BD к стороне ромба: sin(BAC) = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.