Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет свойства параллелограмма и равностороннего треугольника.

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому ∠A = ∠C = 120°/2 = 60°.

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, значит AB = AD = 16.

Треугольник ABD равнобедренный с углом при вершине A, равным 60°, поэтому он равносторонний и BD = 16.

Ответ: 16.

Проверяется применение свойств равнобедренной трапеции и теоремы Пифагора. Разность оснований равна 39 − 25 = 14, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 14 : 2 = 7.

Высота трапеции: √(25² − 7²) = √576 = 24. Горизонтальная проекция диагонали равна 25 + 7 = 32, поэтому её длина равна √(32² + 24²) = √1600 = 40.

Ответ: 40.

Задание проверяет признаки и свойства ромба и теорему Пифагора.

Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм — ромб.

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, поэтому их половины равны 24 и 10.

Сторона ромба равна √(24² + 10²) = √676 = 26, а периметр P = 4 · 26 = 104.

Ответ: 104.

Проверяются свойства равнобедренного треугольника и теорема Пифагора. Внешний угол при основании равен 150°, значит внутренний угол при основании равен 30°. Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный; sin 30° = BM/AB, откуда AB = 16/0,5 = 32.

Ответ: 32.

Задание проверяет косинус острого угла и площадь прямоугольного треугольника. Так как cos B = BC / AB = 0,6, то BC = 30 · 0,6 = 18. По теореме Пифагора AC = √(30² − 18²) = 24. Площадь равна AC · BC / 2 = 24 · 18 / 2 = 216.

Ответ: 216.

Задание проверяет углы правильного многоугольника и вписанные в него треугольники. В правильном восьмиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен 360° : 8 = 45°.

Угол FCH опирается на дугу FH, не содержащую C. Эта дуга проходит через G и H и равна двум центральным углам: 2 · 45° = 90°.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠FCH = 90° : 2 = 45°.

Ответ: 45.

Проверяется связь тригонометрии с отношениями сторон прямоугольного треугольника. Так как cos A = AC/AB = 24/25, получаем AC = 75 · 24/25 = 72. По теореме Пифагора BC = √(75² − 72²) = √441 = 21. Ответ: 21.

Задание проверяет связь между длиной дуги и градусной мерой соответствующего центрального угла, а также свойство вписанного угла. Дуга составляет 17/36 длины окружности, значит, центральный угол равен 360° · 17/36 = 170°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше: 170°/2 = 85°. Ответ: 85.

Задание проверяет сумму углов треугольника и свойство биссектрисы. Угол ALC равен 86°, поэтому угол ALB, смежный с ним, равен 180° − 86° = 94°. В треугольнике ABL углы при A и B равны 180° − 94° − 73° = 13°. Так как AL — биссектриса, угол A равен 2 · 13° = 26°. Тогда угол ACB равен 180° − 73° − 26° = 81°.

Ответ: 81.

Задание проверяет свойства углов при параллельных прямых и секущих. По рисунку угол 2 и угол, смежный с углом 1, образуют треугольник вместе с углом 3.

Угол, смежный с углом 1, равен 180° − 22° = 158°. Тогда ∠3 = 180° − 158° − (180° − 138°) = 20°.

Ответ: 20.

Угол между пересекающимися внутри окружности хордами равен полусумме градусных мер дуг, на которые опираются он и вертикальный ему угол. Для указанных дуг получаем (38° + 42°) / 2 = 40°. Ответ: 40.

Проверяется нахождение площади треугольника через основание и высоту. Основание AD трапеции равно 4; высота трапеции h находится из формулы площади: 3 = (4 + 2) · h : 2, поэтому h = 1. В треугольнике ABC основание BC равно 2, а высота к нему равна той же высоте трапеции, значит площадь равна 2 · 1 : 2 = 1.

Ответ: 1.

Проверяется теорема Пифагора и понятие средней линии треугольника.

Гипотенуза равна √(10² + 24²) = √676 = 26. Наибольшая средняя линия параллельна этой стороне и равна половине её длины: 26 / 2 = 13.

Ответ: 13.

Задание проверяет свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников. Внутренние углы A и C равны 180° − 150° = 30°, поэтому AB = BC и треугольник ABC равнобедренный. Биссектриса BK, проведённая к его основанию AC, является также высотой. В прямоугольном треугольнике ABK катет BK лежит напротив угла 30°, поэтому равен половине гипотенузы AB. Получаем BK = 44/2 = 22 единицы длины. Ответ: 22.

Задание проверяет свойство радиуса, проведённого в точку касания, и сумму углов четырёхугольника.

Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным CA и CB, поэтому углы при A и B равны 90°.

Сумма углов четырёхугольника CAOB равна 360°, значит ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 165° = 15°.

Ответ: 15.

Задание проверяет применение формулы площади параллелограмма.

Площадь равна произведению стороны на проведённую к ней высоту: S = ah.

По меньшей стороне получаем S = 14 · 21 = 294 квадратные единицы.

Высота к большей стороне равна h = 294/28 = 10,5 единицы длины.

Ответ: 10,5.

Проверяется нахождение площади треугольника. Равные стороны AB и BC — боковые, а AC = 20 — основание. Высота к основанию делит его пополам: получаются отрезки по 10. По теореме Пифагора высота равна √(26² − 10²) = 24. Площадь равна 20 · 24 / 2 = 240.

Ответ: 240

Задание проверяет площадь прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Второй катет равен 2 · 270 / 15 = 36, поскольку площадь равна половине произведения катетов. Тогда гипотенуза равна √(15² + 36²) = √1521 = 39. Ответ: 39.

Задание проверяет теорему Пифагора и синус острого угла прямоугольного треугольника. Гипотенуза AB равна 20, а катет AC равен 2√51. Тогда второй катет BC = √(20² − (2√51)²) = √196 = 14. Синус угла A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: 14 / 20 = 0,7.

Ответ: 0,7.