Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
На окружности радиусом 14 отмечена точка Отрезок диаметр окружности, Найдите
Задание проверяет свойство вписанного угла и определение косинуса.
Угол ACB опирается на диаметр AB, поэтому равен 90°.
Гипотенуза AB равна двум радиусам: AB = 2 · 14 = 28.
Косинус угла BAC равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos ∠BAC = AC / AB = 7/28 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Сумма двух углов ромба равна а его периметр равен 48. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Проверяется свойство углов ромба и длина его диагонали. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны. Поэтому сумма двух углов 120° означает, что меньший угол равен 60°.
Периметр 48, значит сторона ромба равна 48/4 = 12. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов; она является основанием равностороннего треугольника со сторонами 12, поэтому её длина равна 12.
Ответ: 12.
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 40. Гипотенуза равна 41. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
Проверяется теорема Пифагора и свойство средней линии треугольника. Второй катет равен √(41² − 40²) = √81 = 9.
Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна. Наименьшая средняя линия параллельна меньшему катету, поэтому её длина равна 9 / 2 = 4,5.
Ответ: 4,5.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 5,
а острый угол ромба равен
Задание проверяет нахождение площади ромба через сторону и высоту.
Высота ромба h = a · sin 30°, где a — его сторона.
Поскольку sin 30° = 1/2, получаем a = 5 : (1/2) = 10 ед.
Площадь S = a · h = 10 · 5 = 50 кв. ед.
Ответ: 50.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Гипотенуза . Найдите .
Задание проверяет связь внешнего и внутреннего углов треугольника и теорему Пифагора.
Внутренний угол A смежен с внешним, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°. Поскольку треугольник прямоугольный, гипотенуза AB равна 31, а катет BC лежит напротив угла 30°.
Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы: BC = 31 / 2 = 15,5.
Ответ: 15,5
Площадь прямоугольника равна 300, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Из площади и стороны находим AD = 300/15 = 20. В прямоугольном треугольнике ADC для угла CAD тангенс равен CD/AD, причём CD = AB = 15. Получаем tg∠CAD = 15/20 = 0,75.
Ответ: 0,75.
В треугольнике сторона ,
медиана, высота, . Найдите длину отрезка .
В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 49. Найдите боковую сторону треугольника .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и связь внешнего и внутреннего углов.
Угол при основании равен 180° − 150° = 30°.
Медиана BM, проведённая к основанию, является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный.
Катет BM лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы AB, значит AB = 2 · 49 = 98.
Ответ: 98.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен Катет Найдите длину гипотенузы
Задание проверяет свойства углов и соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Внутренний угол A смежен с внешним, поэтому равен 180° − 120° = 60°.
Тогда угол B равен 90° − 60° = 30°, а катет AC лежит напротив него.
Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому AB = 2 · 49 = 98.
Ответ: 98.
В треугольнике внешние углы при вершинах и равны , . Найдите длину биссектрисы .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и биссектрисы. Каждый внутренний угол при A и C равен 180° − 150° = 30°, поэтому угол B равен 120°. Так как углы при основании равны, AB = BC = 28; биссектриса BK к основанию также является высотой. В прямоугольном треугольнике ABK получаем BK = 28 · sin 30° = 14.
Ответ: 14.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 15 и 20. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется связь площадей частей прямоугольника, разбитого двумя разрезами. Обозначим ширины двух столбцов через a и b, а высоты двух строк через c и d. Тогда площади четырёх частей равны ac = 18, bc = 15, bd = 20 и ad — искомая. Поэтому ad = (ac · bd) / (bc) = 18 · 20 / 15 = 24.
Ответ: 24.
В треугольнике медиана перпендикулярна сторона Найдите длину стороны если
Задание проверяет свойства медианы и теорему Пифагора. Поскольку BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = 84 / 2 = 42. Треугольник ABM прямоугольный, значит AB = √(42² + 40²) = 58.
Ответ: 58.
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 5, а . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет определение тангенса и формулу площади треугольника.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому AC = 2 · AM.
В прямоугольном треугольнике ABM имеем tg A = BM/AM, откуда AM = 5/0,25 = 20 ед.
Тогда AC = 40 ед., а площадь S = AC · BM/2 = 40 · 5/2 = 100 кв. ед.
Ответ: 100.
В треугольнике известно, что , , внешний угол при вершине
равен . Найдите .
Проверяется: теорема синусов и свойства внешнего угла треугольника.
Угол C внутри треугольника равен 180° − 150° = 30°. По теореме синусов AB : BC = sin C : sin A, поэтому AB = 18 · sin 30° : sin A = 18 · 0,5 : 0,6 = 15.
Ответ: 15.
В равнобедренном треугольнике основание , . Найдите площадь треугольника .
Проверяется применение тангенса и формулы площади треугольника. Высота к основанию делит основание пополам, поэтому её проекция равна 14; из tg A = h/14 = 3/2 получаем h = 21. Тогда S = 28 · 21 / 2 = 294.
Ответ: 294.
| Стороны параллелограмма равны 10 и 55. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 33. Найдите длину высоты, проведённой к бо́льшей стороне параллелограмма. |
|
Задание проверяет применение формулы площади параллелограмма S = a · h.
По меньшей стороне и проведённой к ней высоте площадь равна S = 10 · 33 = 330 кв. ед.
При выборе другой стороны основанием площадь остаётся той же: 55 · h = 330.
Отсюда h = 330/55 = 6 ед.
Ответ: 6.
В равнобедренном треугольнике медиана , боковая сторона . Найдите длину отрезка , если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
Задание проверяет свойства медианы равнобедренного треугольника и средней линии.
Медиана BK, проведённая к основанию AC, является высотой, поэтому треугольник BKC прямоугольный.
По теореме Пифагора KC = √(50² − 14²) = √2304 = 48.
Поскольку K — середина основания, KC = AC/2, а средняя линия MN также равна AC/2.
Следовательно, MN = KC = 48.
Ответ: 48.
В треугольнике угол равен , . Площадь треугольника равна 30. Найдите .
Проверяется тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Из площади 30 = 5 · AC / 2 получаем AC = 12. Тогда tg B = AC / BC = 12 / 5 = 2,4.
Ответ: 2,4.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 10, 15 и 21. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется связь площадей прямоугольников, полученных двумя разрезами. Произведение площадей противоположных прямоугольников равно: 10·21 = 15·S. Отсюда S = 210/15 = 14.
Ответ: 14.
В ромбе диагональ , площадь ромба равна 320. Найдите тангенс угла .
Проверяется связь площади ромба с диагоналями и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Площадь равна половине произведения диагоналей, поэтому вторая диагональ BD = 2 · 320/80 = 8. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, значит в треугольнике AOB катеты равны AO = 40 и BO = 4. Тогда tg(BAC) = BO/AO = 4/40 = 0,1.
Ответ: 0,1
