Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется: свойства медианы и биссектрисы в треугольнике.

По рисунку AM = MC, так как BM — медиана. Также BM делит угол B пополам, поэтому ∠ABM = ∠MBC = 60°. Треугольники ABM и CBM равны по двум сторонам и углу между ними; значит, AB = BC. Угол ABC равен 120°, поэтому углы A и C равны 30°. В треугольнике ABM угол AMB равен 90°, и AB — гипотенуза: AB = BM : sin 30° = 9 : 0,5 = 18.

Ответ: 18.

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, параллелограмм является ромбом. У ромба диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Полудиагонали равны 21 и 28, поэтому сторона равна √(21² + 28²) = 35. Периметр равен 4·35 = 140.

Ответ: 140.

Задание проверяет свойства смежных углов и катета, лежащего против угла 30°.

Внутренний угол A и внешний угол при этой вершине в сумме составляют 180°, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°.

Катет BC лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы.

Получаем BC = AB/2 = 34/2 = 17 ед. длины.

Ответ: 17.

Задание проверяет теорему косинусов и свойства равнобедренного треугольника. По теореме косинусов cos B = (12² + 12² − (12√3)²) / (2·12·12) = −0,5, значит угол B равен 120°. Равные стороны AB и BC лежат напротив равных углов C и A, поэтому угол A = (180° − 120°) / 2 = 30°. Тогда sin A = 0,5. Ответ: 0,5.

Задание проверяет свойство средней линии треугольника и теорему Пифагора.

Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, поэтому эта сторона равна 2 · 5 = 10 ед.

Сторона длиной 10 ед. не может быть гипотенузой, поскольку гипотенуза больше катета длиной 24 ед.; значит, это второй катет.

По теореме Пифагора гипотенуза равна √(24² + 10²) = √676 = 26 ед.

Ответ: 26.

Задание проверяет внешний угол треугольника и тригонометрию прямоугольного треугольника. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, а прямой угол находится при C, поэтому угол B равен 30°. Катет AC, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы AB. Следовательно, AB = 2 · 34 = 68.

Ответ: 68.

Внешний угол при C равен 150°, значит внутренний угол C равен 30°. Так как AB = BC, противоположные им углы C и A равны, поэтому угол A тоже 30°, а угол B равен 120°.

Медиана BK к основанию AC в равнобедренном треугольнике является высотой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза BC = 14, а угол C равен 30°, поэтому BK = 14 · sin 30° = 7.

Ответ: 7.

Задание проверяет определение косинуса в прямоугольном треугольнике. Так как угол C прямой, AB — гипотенуза, а cos A = AC / AB = 5 / 13.

Тогда AC = 39 · 5 / 13 = 15. По теореме Пифагора BC = √(39² − 15²) = √1296 = 36.

Ответ: 36.

Проверяется нахождение площади кольца по площадям кругов. По клеткам радиус внешнего круга в 1,5 раза больше радиуса внутреннего круга. Площади кругов относятся как квадраты радиусов, поэтому площадь внешнего круга равна 12 · 1,5² = 27. Площадь заштрихованной фигуры равна 27 − 12 = 15.

Ответ: 15.

Задание проверяет связь площадей прямоугольников, образованных двумя разрезами. У произведений площадей противоположных прямоугольников общий множитель — произведение ширин двух частей и высот двух частей, поэтому произведения равны.

Обозначим неизвестную площадь через x. Тогда 18 · 33 = 27 · x, откуда x = 18 · 33 / 27 = 22.

Ответ: 22.

Проверяются свойства вписанных углов и диаметров окружности. Угол ACB опирается на дугу AB, поэтому равен половине центрального угла AOB. Так как BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны, следовательно, угол AOB = 180° − 130° = 50°. Тогда угол ACB = 50° / 2 = 25°.

Ответ: 25.

Задание проверяет свойства углов при параллельных прямых и сумму углов треугольника.

Угол при правой нижней вершине треугольника равен углу 1 как соответственный при параллельных прямых m и n, то есть равен 77°.

Угол при левой нижней вершине равен 9°.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠3 = 180° − 77° − 9° = 94°.

Ответ: 94.

Задание проверяет тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 34 − 9 = 25, значит, AC = 5.

Для угла A противолежащий катет — BC, прилежащий — AC, поэтому tg A = 3/5 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Проверяется деление полного угла вокруг центра на равные части. Полный угол равен 360°, а спиц 24.

Угол между соседними спицами равен 360° : 24 = 15°.

Ответ: 15.

Разбирается планиметрия: смежные углы, косинус острого угла и прямоугольный треугольник.

Внутренний угол A смежен с внешним, поэтому ∠A = 180° − 120° = 60°. По рисунку угол C прямой, значит AB — гипотенуза, а AC — катет, прилежащий к углу A.

cos 60° = AC/AB = 1/2, откуда AB = 47/(1/2) = 94.

Ответ: 94.

Проверяется применение теоремы Пифагора в равнобедренной трапеции. Половина разности оснований равна (76 − 44) : 2 = 16, поэтому высота равна √(65² − 16²) = 63. Горизонтальная проекция диагонали равна 16 + 44 = 60. Тогда диагональ равна √(60² + 63²) = 87.

Ответ: 87.

Проверяется умение находить угол между стрелками часов.

В 15:00 минутная стрелка направлена на 12, а часовая — на 3. Между соседними часовыми делениями 30°, поэтому угол между стрелками равен 3 · 30° = 90°.

Ответ: 90.

У ромба противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°. Сумма двух равных противоположных углов равна 240°, значит, каждый из них равен 120°, а соседний угол равен 60°. Периметр 20, поэтому сторона ромба равна 20 / 4 = 5. Меньшая диагональ стягивает угол 60°; она вместе с двумя сторонами образует равносторонний треугольник, поэтому её длина равна 5.

Ответ: 5.

Проверяется связь смежных углов и свойство биссектрисы. Так как A, M и B лежат на одной прямой, углы CMA и CMB в сумме дают 180°. Луч MD делит угол CMB пополам, а ∠DMC = 65°, значит ∠CMB = 130°. Тогда ∠CMA = 180° − 130° = 50°.

Ответ: 50.