Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

В прямоугольном треугольнике AB — гипотенуза, поскольку угол C равен 90°. По теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 12² − (3√7)² = 144 − 63 = 81, поэтому BC = 9. Тогда sin A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: sin A = 9/12 = 0,75. Ответ: 0,75.

Задание проверяет косинус острого угла в прямоугольном треугольнике и формулу площади. Так как cos B = BC/AB = 5/13 и AB = 39, получаем BC = 39 · 5/13 = 15.

По теореме Пифагора AC = √(39² − 15²) = √1296 = 36. Площадь равна половине произведения катетов: S = 15 · 36 / 2 = 270.

Ответ: 270.

Задание проверяет умение находить площадь ромба.

Площадь квадрата со стороной a равна a², поэтому a² = 34.

Площадь ромба равна S = a² · sin 30° = 34 · 0,5 = 17 квадратных единиц.

Ответ: 17.

Задание проверяет признаки ромба, свойства его диагоналей и теорему Пифагора.

Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами углов, — ромб.

Его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам, поэтому AO = 96/2 = 48.

В прямоугольном треугольнике AOB получаем BO = √(AB² − AO²) = √(50² − 48²) = √196 = 14.

Тогда BD = 2 · BO = 28 единиц длины.

Ответ: 28.

Обозначим катеты AC и BC. По определению cos B = BC/AB = 15/17, значит BC = 30.

По теореме Пифагора AC = √(34² − 30²) = 16. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = 16 · 30 / 2 = 240.

Ответ: 240.

Задание проверяет умение находить высоту и площадь трапеции.

Острый угол между боковой стороной и прямой основания равен 180° − 150° = 30°.

Высота трапеции h = 8 · sin 30° = 4 единицы длины.

Площадь S = (13 + 19) · 4/2 = 64 квадратные единицы.

Ответ: 64.

Задание проверяет свойства вписанных углов и прямоугольного треугольника. Так как AB — диаметр, угол ADB равен 90°. Тогда в треугольнике ADB угол DAB = 180° − 90° − 8° = 82°. Углы DAB и DCB опираются на одну хорду DB и лежат по одну сторону от неё, поэтому они равны.

Ответ: 82.

Задание проверяет косинус острого угла прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Гипотенуза AB = 50, катет AC = 14, поэтому BC = √(50² − 14²) = √2304 = 48. Для угла B прилежащий катет — BC, значит cos B = BC : AB = 48 : 50 = 0,96. Ответ: 0,96.

Полный угол вокруг центра колеса равен 360°. Так как 12 спиц делят его на равные углы, между соседними спицами угол равен 360° / 12 = 30°.

Ответ: 30.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, поэтому угол B равен 60°.

Катет BC лежит напротив угла 30°, а такой катет равен половине гипотенузы AB. Следовательно, AB = 2 · 12 = 24.

Ответ: 24.

Проверяется нахождение площади прямоугольника через тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольнике AD = BC = 36, а AB = CD. В треугольнике CAD: tg∠CAD = CD/AD = AB/AD.

Тогда AB/36 = 5/18, откуда AB = 10. Площадь равна AB · BC = 10 · 36 = 360.

Ответ: 360.

Поскольку BM — биссектриса угла B, ∠ABM = 120°/2 = 60°. По рисунку BM перпендикулярна AC, поэтому треугольник ABM прямоугольный, а AB — его гипотенуза. Из cos 60° = BM/AB получаем AB = 11/0,5 = 22.

Ответ: 22.

Проверяется свойство параллелограмма: если его диагонали биссектрисы углов, то это ромб. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина диагонали AC равна 40, поэтому половину BD находим из прямоугольного треугольника: √(58² − 40²) = 42. Тогда BD = 2 · 42 = 84.

Ответ: 84.

Задание проверяет теорему Пифагора и формулу средней линии трапеции. Поскольку AB перпендикулярна основаниям, высота равна AB = 8. Горизонтальная проекция боковой стороны BC равна √(10² − 8²) = 6, поэтому большее основание AD = 10 + 6 = 16.

Средняя линия равна полусумме оснований: (10 + 16) : 2 = 13.

Ответ: 13.

Задание проверяет тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике и нахождение высоты. Так как ∠C = 90°, AB — гипотенуза; из cos A = AC/AB = 0,6 следует sin A = 0,8. Поскольку sin A = BC/AB, получаем AB = 20/0,8 = 25, а AC = 0,6 · 25 = 15. По равенству площадей AC · BC/2 = AB · CH/2, значит CH = 15 · 20/25 = 12.

Ответ: 12.

Задание проверяет теорему о средней линии треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны.

Медиана BK делит основание AC пополам. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза BC = 41, катет BK = 9, поэтому KC = √(41² − 9²) = √1600 = 40.

Средняя линия MN равна половине AC. Так как AC = 2 · KC = 80, получаем MN = 40.

Ответ: 40.

Проверяется площадь трапеции через её высоту.

Высота равна 8 · sin 150° = 8 · 0,5 = 4. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: (9 + 21)/2 · 4 = 60.

Ответ: 60.

В равнобедренном треугольнике AB = BC, поэтому медиана BM к основанию AC является высотой и делит основание пополам.

Значит, AM = 56 / 2 = 28. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABM: BM² = 53² − 28² = 2809 − 784 = 2025.

Следовательно, BM = 45.

Ответ: 45.