Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется теорема Пифагора и формула медианы к основанию равнобедренного треугольника. Медиана BM также является высотой, поэтому AM = √(8² − (√39)²) = √25 = 5. В прямоугольном треугольнике ABM угол BAM совпадает с углом BAC, и cos(BAC) = AM/AB = 5/8 = 0,625.

Ответ: 0,625.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Из sin A = BC / AB получаем BC = 2√13 · 2/√13 = 4. По теореме Пифагора AC = √((2√13)² − 4²) = √36 = 6. Площадь равна 4 · 6 / 2 = 12. Ответ: 12.

Задание проверяет свойства биссектрисы и смежных углов.

Биссектриса MD делит угол CMB пополам, поэтому ∠CMB = 2 · 47° = 94°.

Лучи MA и MB противоположны, поэтому углы CMA и CMB в сумме составляют 180°.

Получаем ∠CMA = 180° − 94° = 86°.

Ответ: 86.

Проверяется применение теоремы Пифагора и определение тангенса в прямоугольном треугольнике. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина AC равна 6. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB = 3√5 второй катет равен √((3√5)² − 6²) = 3. Тангенс угла BAC равен отношению противолежащего катета к прилежащему: 3 : 6 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задание проверяет вычисление площади трапеции через основание и высоту. Высота равна 14·sin 150° = 14·0,5 = 7. Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту: (15 + 25)·7/2 = 140. Ответ: 140.

Проверяется нахождение тангенса угла прямоугольного треугольника, образованного высотой трапеции. Разность оснований равна 9 − 5 = 4, поэтому горизонтальный отрезок у каждой боковой стороны равен 4/2 = 2. Тангенс острого угла равен отношению высоты к этому отрезку: 6/2 = 3. Ответ: 3.

Задание проверяет площади круга и вычисление площади кольца по рисунку. На сетке радиус внутреннего круга равен 2 клеткам, а внешнего — 4 клеткам. Площади кругов относятся как квадраты радиусов, значит площадь заштрихованного кольца в три раза больше площади внутреннего круга: 16 · (4² − 2²) / 2² = 48. Ответ: 48.

Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Внешний угол при A равен 150°, поэтому внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Катет BC лежит напротив угла A, а AB — гипотенуза; sin 30° = BC / AB = 1/2. Значит, AB = 36 / (1/2) = 72.

Ответ: 72.

Задание проверяет медиану в равнобедренном треугольнике и косинус угла. Медиана BM к основанию AC делит его пополам и перпендикулярна основанию. В прямоугольном треугольнике ABM гипотенуза AB = 25, а BM = 24, поэтому AM = √(25² − 24²) = 7. Тогда AC = 14, и cos ∠BAC = AM / AB = 7 / 25 = 0,28.

Ответ: 0,28.

Проверяется нахождение диагонали равнобедренной трапеции с помощью теоремы Пифагора. Полуразность оснований равна (88 − 52) / 2 = 18, поэтому высота трапеции равна √(30² − 18²) = 24. Горизонтальная проекция диагонали равна 18 + 52 = 70, значит её длина равна √(70² + 24²) = 74. Ответ: 74.

Задание проверяет вписанные углы и свойство диаметра: дуга, опирающаяся на диаметр AB, равна 180°. Угол DBA опирается на дугу DA, поэтому дуга DA равна 2·64° = 128°.

В полуокружности DAB дуга DB равна 180° − 128° = 52°. Угол DCB опирается на эту дугу, значит ∠DCB = 52°/2 = 26°.

Ответ: 26.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и определение косинуса острого угла.

Медиана BM, проведённая к основанию AC, является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный.

По теореме Пифагора AM = √(AB² − BM²) = √(64 − 55) = 3.

Поскольку лучи AM и AC совпадают, cos ∠BAC = AM/AB = 3/8 = 0,375.

Ответ: 0,375.

Задание проверяет теорему Пифагора и формулу площади треугольника.

Гипотенуза c = √(6² + 8²) = √100 = 10 единиц длины.

Площадь можно выразить через катеты и через высоту к гипотенузе: S = 6 · 8 / 2 = 10 · h / 2.

Отсюда h = 6 · 8 / 10 = 4,8 единицы длины.

Ответ: 4,8.

Задание проверяет свойства биссектрисы и медианы, а также косинус острого угла.

По свойству биссектрисы AB/BC = AM/MC, а медиана даёт AM = MC, поэтому AB = BC.

В равнобедренном треугольнике медиана BM является высотой, значит, ∠AMB = 90°.

Биссектриса делит угол B пополам: ∠ABM = 120°/2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABM имеем cos 60° = BM/AB = 1/2, откуда AB = 30/(1/2) = 60 единиц длины.

Ответ: 60.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и применение синуса в прямоугольном треугольнике.

Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Так как треугольник прямоугольный, AB — гипотенуза, а BC лежит напротив угла 30°. Поэтому BC = AB · sin 30° = AB : 2, откуда AB = 2 · 33 = 66.

Ответ: 66.

Проверяется применение тангенса угла в прямоугольном треугольнике и вычисление площади прямоугольника.

Из tg ∠CAD = BC : CD = 7 : 18 получаем CD = 54 · 7 : 18 = 21. Площадь прямоугольника равна 54 · 21 = 1134.

Ответ: 1134.