Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется свойство углов и диагоналей ромба. Сумма двух соседних углов ромба равна 180°, поэтому равные углы в условии — противоположные; каждый из них равен 60°. Периметр 84, значит сторона равна 84 : 4 = 21. Меньшая диагональ соединяет вершины с острыми углами и равна стороне ромба: 21.

Ответ: 21.

Проверяются свойства внешнего и внутреннего углов треугольника и соотношение катета с гипотенузой. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Катет BC = 9 лежит напротив угла A, поэтому в прямоугольном треугольнике BC = AB · sin 30° = AB/2. Следовательно, AB = 18.

Ответ: 18.

Задание проверяет сумму углов треугольника и свойство биссектрисы. Так как точки B, L и C лежат на одной прямой, ∠ALB и ∠ALC — смежные, поэтому ∠ALB = 180° − 152° = 28°. В треугольнике ABL получаем ∠BAL = 180° − 137° − 28° = 15°; биссектриса даёт ∠A = 30°. Тогда ∠ACB = 180° − 137° − 30° = 13°. Ответ: 13.

Проверяется связь длины дуги с центральным углом. Меньшая дуга составляет 8° от 360°, поэтому длина всей окружности равна 80 · 360 : 8 = 3600. Большая дуга составляет 352°: её длина равна 3600 · 352 : 360 = 3520.

Ответ: 3520.

Задание проверяет свойства медианы и теорему Пифагора. Медиана BM делит AC пополам, поэтому AM = MC = 36 / 2 = 18.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. В прямоугольном треугольнике ABM: BM = √(82² − 18²) = √6400 = 80.

Ответ: 80.

Угол ACB опирается на дугу AB, поэтому он равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу. Так как AC и BD — диаметры, OA и OC, а также OB и OD — противоположные лучи. Следовательно, ∠AOB и ∠AOD смежные, поэтому ∠AOB = 180° − 124° = 56°. Тогда ∠ACB = 56° : 2 = 28°. Ответ: 28.

Задание проверяет формулу площади треугольника и свойства равнобедренного треугольника.

Из формулы S = AC · h/2 получаем высоту к основанию: h = 2 · 300/40 = 15.

В равнобедренном треугольнике эта высота делит основание пополам, поэтому половина основания равна 40/2 = 20.

По теореме Пифагора боковая сторона AB = √(15² + 20²) = √625 = 25.

Ответ: 25.

Задание проверяет тангенс угла в прямоугольном треугольнике и площадь треугольника. Высота BM делит основание AC пополам. В прямоугольном треугольнике ABM: tg A = BM/AM, поэтому AM = 10/1,25 = 8. Тогда AC = 16, а площадь равна AC · BM/2 = 16 · 10/2 = 80.

Ответ: 80.

Задание проверяет вычисление высоты и площади трапеции.

Угол между данной боковой стороной и направлением основания, образующим острый угол, равен 180° − 150° = 30°.

Высота трапеции равна h = 4 · sin 30° = 4 · 0,5 = 2 ед. длины.

Площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (2 + 8)/2 · 2 = 10 кв. ед.

Ответ: 10.

Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и внешний угол. Внутренний угол при A равен 180° − 150° = 30°, поэтому противолежащий ему катет BC равен половине гипотенузы. BC = 26 / 2 = 13.

Ответ: 13

Проверяется связь периметров прямоугольников, образованных двумя разрезами. Пусть ширины левого и правого столбцов равны a и b, а высоты верхней и нижней строк — c и d. Сумма периметров диагонально противоположных прямоугольников одинакова: 2(a+c)+2(b+d)=2(a+d)+2(b+c). По рисунку неизвестный периметр равен 18 + 5 − 16 = 7. Ответ: 7.

Задание проверяет свойства биссектрисы и сумму углов треугольника. Обозначим ∠ACB через x; тогда из треугольника ALC получаем ∠LAC = 180° − 145° − x = 35° − x. Поскольку AL — биссектриса, ∠BAC = 2(35° − x). Сумма углов ABC равна 180°: 2(35° − x) + 113° + x = 180°, откуда x = 3°.

Ответ: 3.

Задание проверяет вычисление площади круга и разности площадей. По клеткам радиус внутреннего круга равен 1 клетке, а внешнего — 3 клеткам, поэтому их радиусы относятся как 1:3.

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, значит площадь внешнего круга равна 8 · 3² = 72. Площадь заштрихованной фигуры: 72 − 8 = 64.

Ответ: 64.

Задание проверяет связь внешнего и внутреннего углов и тригонометрическое отношение в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол при A равен 180° − 150° = 30°. Катет BC лежит напротив этого угла, поэтому sin 30° = BC/AB = 1/2. Отсюда AB = 13 · 2 = 26.

Ответ: 26.

Задание проверяет свойства ромба и прямоугольного треугольника. Сумма двух углов 240°, значит, это два больших угла ромба; каждый равен 120°, а меньший угол равен 60°.

Меньшая диагональ лежит напротив угла 60°. Она делит ромб на равносторонний треугольник со стороной 30, значит, сторона ромба равна 30. Периметр равен 4 · 30 = 120.

Ответ: 120.

Задание проверяет свойства углов ромба и его диагоналей.

Сумма двух углов 120° означает, что это противоположные углы: каждый равен 60°. Меньшая диагональ равна стороне ромба, поскольку d = 2a · sin 30° = a. Значит, сторона равна 23, а периметр равен 4 · 23 = 92.

Ответ: 92.

Задание проверяет свойства биссектрисы и сумму углов треугольника. Так как AL — биссектриса, угол BAL равен углу LAC. Угол BLA смежный с углом ALC, поэтому BLA = 180° − 160° = 20°. В треугольнике ABL угол BAL = 180° − 148° − 20° = 12°, значит угол A равен 24°. Тогда угол ACB = 180° − 148° − 24° = 8°.

Ответ: 8

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы. Поскольку AB = BC, медиана BM к основанию AC является также высотой и делит основание пополам: AM = 168 / 2 = 84.

По теореме Пифагора BM² = 85² − 84² = (85 − 84)(85 + 84) = 169, поэтому BM = 13.

Ответ: 13.

Проверяется нахождение тангенса угла по высоте и отрезкам оснований равнобедренной трапеции.

Разность оснований равна 7 − 3 = 4, поэтому у каждого прямоугольного треугольника у боковой стороны горизонтальный катет равен 4 / 2 = 2. Тангенс острого угла равен отношению высоты к этому катету: 4 / 2 = 2.

Ответ: 2.

Проверяется применение медианы и теоремы Пифагора в равнобедренном треугольнике.

Медиана BM к основанию AC является высотой и делит основание пополам, поэтому треугольник ABM прямоугольный.

AM² = AB² − BM² = 12² − (6√3)² = 144 − 108 = 36, значит AM = 6.

Следовательно, cos ∠BAC = AM/AB = 6/12 = 0,5.

Ответ: 0,5.