Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В треугольнике стороны и равны. Внешний угол при вершине равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и внешнего угла. Так как AC = BC, углы A и B равны. Угол B смежный с внешним углом 140°, значит, он равен 180° − 140° = 40°. Тогда угол A тоже 40°, а угол C равен 180° − 40° − 40° = 100°.
Ответ: 100.
В прямоугольнике сторона равна 60, . Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет тангенс угла в прямоугольном треугольнике и площадь прямоугольника.
В треугольнике ACD tg∠CAD = CD/AD = AB/AD = 7/15. Так как AD = BC = 60, получаем AB = 60·7/15 = 28. Площадь равна 60·28 = 1680.
Ответ: 1680
Прямые и параллельны (см. рисунок). Найдите , если , . Ответ дайте в градусах.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Площадь прямоугольника равна 660, а одна из сторон равна 11. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Проверяется вычисление диагонали прямоугольника по его площади и стороне. Вторая сторона равна 660 : 11 = 60. По теореме Пифагора диагональ равна √(11² + 60²) = √3721 = 61.
Ответ: 61.
На окружности с центром 
и диаметром
отмечена точка так, что угол равен , . Найдите диаметр окружности.
Задание проверяет свойства вписанного прямоугольного треугольника и углы в равнобедренном треугольнике. Так как AB — диаметр, угол ACB равен 90°. Угол AOB равен 180°, а угол COB равен 120°, значит угол AOC равен 60°. В равнобедренном треугольнике AOC радиусы OA и OC равны, поэтому угол OAC тоже равен 60°, и AC = OA. Следовательно, радиус равен 12, а диаметр — 24.
Ответ: 24.
В треугольнике проведена биссектриса , угол равен угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства биссектрисы и сумму углов треугольника.
Так как AL — биссектриса, ∠BAL = ∠LAC. В треугольнике ALC: ∠LAC = 180° − 62° − 47° = 71°.
Тогда ∠BAC = 71° + 71° = 142°, а ∠ACB = 180° − 142° − 47° = 103°.
Ответ: 103.
| В угол с вершиной , равный , вписана окружность |
|
Проверяется связь угла между касательными с центральным углом. Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике CAOB два угла равны 90°. Тогда ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 79° = 101°.
Ответ: 101.
Колесо имеет 10 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
Задание проверяет деление полного угла вокруг точки на равные части. Полный угол равен 360°, поэтому угол между соседними спицами равен 360° / 10 = 36°.
Ответ: 36.
| Одна из диагоналей ромба равна 10, а его площадь равна 120. Найдите сторону ромба. |
|
Проверяется связь диагоналей и площади ромба. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, поэтому вторая диагональ равна 2 · 120 / 10 = 24.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны 5 и 12, а сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника с такими катетами.
По теореме Пифагора сторона равна √(5² + 12²) = √169 = 13.
Ответ: 13.
В равнобедренном треугольнике 
основание , . Найдите площадь треугольника .
Проверяется применение тангенса в прямоугольном треугольнике и формулы площади. Высота равнобедренного треугольника делит основание AC пополам, поэтому половина основания равна 15. Так как tg A = 4/3, высота равна 15 · 4/3 = 20. Тогда площадь равна AC · h / 2 = 30 · 20 / 2 = 300.
Ответ: 300.
Сторона ромба равна 50, одна из его диагоналей равна 28. Найдите площадь ромба.
Проверяется площадь ромба через диагонали. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина второй диагонали равна √(50² − 14²) = √2304 = 48. Вторая диагональ равна 96, а площадь равна 28·96/2 = 1344.
Ответ: 1344.
В треугольнике угол равен . Медиана делит угол пополам и равна 29. Найдите длину стороны .
В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике сторона
медиана, высота, Найдите длину отрезка
Обозначим AH через x. Медиана BM делит AC пополам, поэтому AM = 4, а HM = 4 − x; также HC = 8 − x. Из BM = BC и теоремы Пифагора получаем (4 − x)² + BH² = (8 − x)² + BH², откуда x = 6.
Ответ: 6.
| В параллелограмме отмечена точка середина стороны Отрезки и пересекаются в точке Найдите длину |
|
Задание проверяет свойства параллелограмма и пересечение его диагоналей с медианой. Обозначим точку пересечения диагоналей через O: диагонали параллелограмма делятся пополам, значит BO = BD / 2 = 7,5. В треугольнике BCD точка M — середина BC, поэтому AM пересекает BD на расстоянии одной трети диагонали от B: BK = 15 / 3 = 5.
Ответ: 5.
Площадь прямоугольника равна 125, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет формулу площади прямоугольника и определение тангенса острого угла.
Из равенства S = AB · AD получаем AD = 125 / 10 = 12,5.
В прямоугольном треугольнике ADC противолежащий углу CAD катет — CD, а прилежащий — AD.
Так как CD = AB = 10, то tg ∠CAD = CD / AD = 10 / 12,5 = 0,8.
Ответ: 0,8.
правильный восьмиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
| В трапеции основания , . Площадь трапеции равна 13. Найдите площадь треугольника . |
|
Проверяется: площадь трапеции и треугольника с общей высотой.
Из формулы площади трапеции 13 = (8 + 5) · h / 2 получаем h = 2. У треугольника ABC основание BC = 5, а высота к нему равна высоте трапеции, поэтому S = 5 · 2 / 2 = 5.
Ответ: 5.
В равнобедренном треугольнике медиана боковая сторона Найдите длину отрезка если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
Проверяется свойство средней линии треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны.
Медиана BK делит AC пополам, поэтому MN параллелен AC и MN = AC/2. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 13, значит AB = BC = 13.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 13 и катетом BK = 5: AK = √(13² − 5²) = 12. Следовательно, AC = 2 · 12 = 24 и MN = 12.
Ответ: 12.
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 30. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. По клеткам радиус внешнего круга в 5 раз больше радиуса внутреннего, поэтому отношение площадей равно 5² = 25. Площадь заштрихованной части составляет 25 − 1 = 24 площади внутреннего круга. Следовательно, её площадь равна 30 · 24 = 720.
Ответ: 720
